Страница 130 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. На клетчатой бумаге изобразите прямые, заданные уравнениями $x = 2y$ и $y = 3x$. Найдите угол между этими прямыми.

Построение прямых

Для того чтобы изобразить прямые на клетчатой бумаге, необходимо найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой. Обе прямые являются прямыми пропорциональностями вида $y=kx$, поэтому они проходят через начало координат — точку (0, 0).

1. Первая прямая задана уравнением $x = 2y$. Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.
Первая точка — это начало координат (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем удобное значение $x$, например, $x = 2$. Тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем вторую точку (2, 1).
Чтобы построить эту прямую, нужно соединить точки (0, 0) и (2, 1). На клетчатой бумаге это соответствует смещению на 2 клетки вправо и на 1 клетку вверх от начала координат.

2. Вторая прямая задана уравнением $y = 3x$.
Эта прямая также проходит через начало координат (0, 0).
Для нахождения второй точки выберем $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 = 3$. Получаем вторую точку (1, 3).
Чтобы построить эту прямую, нужно соединить точки (0, 0) и (1, 3). На клетчатой бумаге это соответствует смещению на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх от начала координат.

Нахождение угла между прямыми

Угол $\alpha$ между двумя неперпендикулярными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, можно найти, используя формулу для тангенса этого угла:
$\tan(\alpha) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$

Найдем угловые коэффициенты для наших прямых:
- Для прямой $y = \frac{1}{2}x$ угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.
- Для прямой $y = 3x$ угловой коэффициент $k_2 = 3$.

Теперь подставим значения $k_1$ и $k_2$ в формулу:
$\tan(\alpha) = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{\frac{6-1}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{2+3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = 1$.

Мы получили, что тангенс острого угла между прямыми равен 1. Угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$.

Ответ: 45°.

8. Найдите периметр прямоугольника, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:

Данные неравенства определяют на координатной плоскости прямоугольник.

Неравенство $1 \le x \le 3$ задает границы для координат по оси абсцисс. Длина стороны прямоугольника, параллельной оси $x$, равна разности между максимальным и минимальным значением $x$. Обозначим эту сторону как $a$:
$a = 3 - 1 = 2$.

Неравенство $2 \le y \le 5$ задает границы для координат по оси ординат. Длина стороны прямоугольника, параллельной оси $y$, равна разности между максимальным и минимальным значением $y$. Обозначим эту сторону как $b$:
$b = 5 - 2 = 3$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Подставим найденные значения длин сторон:
$P = 2(2 + 3) = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10.

9. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке $P(8; 6)$, чтобы она касалась внешним образом окружности с центром в начале координат и радиусом 4?

Для того чтобы две окружности касались внешним образом, расстояние между их центрами должно быть равно сумме их радиусов.
Обозначим первую окружность (ту, радиус которой нужно найти) как $C_1$, а вторую — как $C_2$.
Центр окружности $C_1$ находится в точке $P(8; 6)$. Обозначим её радиус как $R_1$.
Центр окружности $C_2$ находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Её радиус по условию равен $R_2 = 4$.
Сначала найдем расстояние $d$ между центрами окружностей $P$ и $O$. Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты точек $P(8; 6)$ и $O(0; 0)$:
$d = \sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
Расстояние между центрами окружностей равно 10.
Теперь используем условие внешнего касания:
$d = R_1 + R_2$
Подставим известные значения $d$ и $R_2$:
$10 = R_1 + 4$
Выразим из этого уравнения искомый радиус $R_1$:
$R_1 = 10 - 4 = 6$
Следовательно, радиус искомой окружности должен быть равен 6.

Ответ: 6

10. Напишите неравенства, задающие многоугольник, изображенный на рисунке 28.6.

Рис. 28.6

Для того чтобы задать многоугольник, изображенный на рисунке, системой неравенств, необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат его стороны, и для каждой прямой составить соответствующее неравенство, которое задает полуплоскость, содержащую многоугольник.

Сначала определим координаты вершин восьмиугольника из графика: (0, 1), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 3), (0, 2).

Теперь найдем уравнения прямых для каждой стороны и соответствующие им неравенства.

1. Вертикальные и горизонтальные стороны

- Сторона, соединяющая точки (1, 0) и (2, 0), лежит на прямой $y=0$. Так как многоугольник расположен выше этой прямой, получаем неравенство $y \ge 0$.

- Сторона, соединяющая точки (3, 1) и (3, 2), лежит на прямой $x=3$. Так как многоугольник расположен левее этой прямой, получаем неравенство $x \le 3$.

- Сторона, соединяющая точки (1, 3) и (2, 3), лежит на прямой $y=3$. Так как многоугольник расположен ниже этой прямой, получаем неравенство $y \le 3$.

- Сторона, соединяющая точки (0, 1) и (0, 2), лежит на прямой $x=0$. Так как многоугольник расположен правее этой прямой, получаем неравенство $x \ge 0$.

2. Наклонные стороны

- Сторона, соединяющая точки (0, 1) и (1, 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$. Для точек (0, 1) и (1, 0) получаем: $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-1}{0-1}$, что упрощается до $x = -(y-1)$, или $x+y=1$. Чтобы определить знак неравенства, возьмем точку изнутри многоугольника, например (1.5, 1.5). Для нее $1.5+1.5=3$, что больше 1. Следовательно, неравенство имеет вид $x+y \ge 1$.

- Сторона, соединяющая точки (2, 0) и (3, 1). Уравнение прямой: $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-0}{1-0}$, что дает $x-2 = y$, или $x-y=2$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5-1.5=0$, что меньше 2. Следовательно, неравенство имеет вид $x-y \le 2$.

- Сторона, соединяющая точки (2, 3) и (3, 2). Уравнение прямой: $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-3}{2-3}$, что дает $x-2 = -(y-3)$, или $x+y=5$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5+1.5=3$, что меньше 5. Следовательно, неравенство имеет вид $x+y \le 5$.

- Сторона, соединяющая точки (0, 2) и (1, 3). Уравнение прямой: $\frac{x-0}{1-0} = \frac{y-2}{3-2}$, что дает $x=y-2$, или $y-x=2$. Проверим с точкой (1.5, 1.5): $1.5-1.5=0$, что меньше 2. Следовательно, неравенство имеет вид $y-x \le 2$.

Объединив все полученные неравенства в систему, мы получим описание данного многоугольника.

Ответ: Система неравенств, задающая многоугольник:
$x \ge 0$
$y \ge 0$
$x \le 3$
$y \le 3$
$x+y \ge 1$
$x-y \le 2$
$x+y \le 5$
$y-x \le 2$

11. Напишите неравенства, задающие треугольник с вершинами A(3; 1), B(0; 3), C(2; 4).

Чтобы задать треугольник с помощью системы неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, а затем для каждой прямой определить, в какой из двух полуплоскостей, ограниченных этой прямой, лежит треугольник. Включая сами прямые, мы будем использовать нестрогие неравенства (≤ или ≥).

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

1. Уравнение прямой AB

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины A(3; 1) и B(0; 3). Подставляем их координаты в формулу:

$\frac{x - 3}{0 - 3} = \frac{y - 1}{3 - 1}$

$\frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 1}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$2(x - 3) = -3(y - 1)$

$2x - 6 = -3y + 3$

Уравнение прямой AB: $2x + 3y - 9 = 0$.

Чтобы определить знак неравенства, возьмем третью вершину C(2; 4) в качестве тестовой точки и подставим ее координаты в левую часть уравнения:

$2(2) + 3(4) - 9 = 4 + 12 - 9 = 7$.

Поскольку результат $7 > 0$, а точка C должна лежать в искомой полуплоскости, то все точки треугольника удовлетворяют неравенству $2x + 3y - 9 \ge 0$.

2. Уравнение прямой BC

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины B(0; 3) и C(2; 4).

$\frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

$\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1}$

$x = 2(y - 3)$

Уравнение прямой BC: $x - 2y + 6 = 0$.

В качестве тестовой точки возьмем вершину A(3; 1):

$3 - 2(1) + 6 = 3 - 2 + 6 = 7$.

Поскольку результат $7 > 0$, соответствующее неравенство: $x - 2y + 6 \ge 0$.

3. Уравнение прямой AC

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершины A(3; 1) и C(2; 4).

$\frac{x - 3}{2 - 3} = \frac{y - 1}{4 - 1}$

$\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 1}{3}$

$3(x - 3) = -(y - 1)$

$3x - 9 = -y + 1$

Уравнение прямой AC: $3x + y - 10 = 0$.

В качестве тестовой точки возьмем вершину B(0; 3):

$3(0) + 3 - 10 = -7$.

Поскольку результат $-7 < 0$, соответствующее неравенство: $3x + y - 10 \le 0$.

Объединив все три неравенства в систему, получим искомое описание области, занимаемой треугольником ABC.

Ответ: $\begin{cases} 2x + 3y - 9 \ge 0 \\ x - 2y + 6 \ge 0 \\ 3x + y - 10 \le 0 \end{cases}$

12. Напишите неравенства, задающие четырехугольник с вершинами $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(2; 2)$, $C(1; 2)$.

Для того чтобы задать четырехугольник с помощью неравенств, необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат его стороны, и затем определить, какую полуплоскость задает каждая из этих прямых.

Данный четырехугольник имеет вершины в точках $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(2; 2)$, $C(1; 2)$. Найдем уравнения для каждой стороны.

Сторона OA

Эта сторона соединяет точки $O(0; 0)$ и $A(1; 0)$. Обе точки лежат на оси абсцисс, следовательно, уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y = 0$. Поскольку все точки четырехугольника лежат не ниже этой прямой, первое неравенство будет $y \ge 0$.

Сторона BC

Эта сторона соединяет точки $B(2; 2)$ и $C(1; 2)$. У обеих точек ордината равна 2, следовательно, уравнение прямой, содержащей эту сторону, — $y = 2$. Все точки четырехугольника лежат не выше этой прямой, поэтому второе неравенство — $y \le 2$.

Сторона OC

Эта сторона соединяет точки $O(0; 0)$ и $C(1; 2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Подставим координаты точек O и C:

$\frac{x - 0}{1 - 0} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$x = \frac{y}{2}$

$y = 2x$

Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку внутри четырехугольника, например, точку $A(1; 0)$, которая лежит на его границе. Подставим ее координаты в уравнение, преобразованное к виду $y - 2x = 0$: $0 - 2(1) = -2$. Так как $-2 \le 0$, а фигура находится "справа и снизу" от прямой, то неравенство будет $y - 2x \le 0$, или $y \le 2x$.

Сторона AB

Эта сторона соединяет точки $A(1; 0)$ и $B(2; 2)$. Снова воспользуемся формулой уравнения прямой:

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 0}{2 - 0}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2}$

$y = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Преобразуем к виду $y - 2x + 2 = 0$. Возьмем тестовую точку внутри фигуры, например, $C(1; 2)$ с ее границы. Подставим ее координаты: $2 - 2(1) + 2 = 2$. Так как $2 \ge 0$, а фигура находится "слева и сверху" от прямой, то неравенство будет $y - 2x + 2 \ge 0$, или $y \ge 2x - 2$.

Таким образом, четырехугольник OABC задается системой из четырех неравенств.

Ответ:$\begin{cases} y \ge 0 \\ y \le 2 \\ y \le 2x \\ y \ge 2x - 2 \end{cases}$

13. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют равенству $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2.$

Чтобы изобразить фигуру, заданную уравнением $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$, необходимо определить, что это за фигура и каковы ее параметры. Для этого приведем данное уравнение к каноническому виду. Уравнение содержит $x^2$ и $y^2$ с одинаковыми коэффициентами, что является признаком уравнения окружности.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Приведем наше уравнение к этому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение:
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:
$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2$

Теперь выделим полные квадраты. Для выражения $(x^2 - 2x)$ не хватает слагаемого $(2/2)^2 = 1^2 = 1$, чтобы получился квадрат разности $(x - 1)^2$. Аналогично, для выражения $(y^2 - 2y)$ не хватает слагаемого $1$, чтобы получился квадрат $(y - 1)^2$. Чтобы сохранить верность равенства, добавим эти числа к обеим частям уравнения:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 + 1 + 1$

Теперь свернем левую часть по формулам квадрата разности и вычислим правую часть:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Мы получили каноническое уравнение окружности. Сравнивая его с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, мы можем определить параметры фигуры:
- Координаты центра окружности: $(a; b) = (1; 1)$.
- Квадрат радиуса: $R^2 = 4$.
- Радиус окружности: $R = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, данное равенство описывает окружность с центром в точке $C(1; 1)$ и радиусом $R = 2$.

Для изображения этой фигуры на координатной плоскости нужно:
1. Построить прямоугольную систему координат $xOy$.
2. Отметить точку $C$ с координатами $(1; 1)$ — это будет центр окружности.
3. Из центра $C$ провести окружность радиусом 2. Это можно сделать с помощью циркуля, установив его ножку в точку $C$, а карандаш на расстояние 2 единицы масштаба. Окружность будет пересекать оси координат и проходить, например, через точки $(3; 1)$, $(-1; 1)$, $(1; 3)$ и $(1; -1)$.

Ответ: Фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2$, является окружностью с центром в точке $(1; 1)$ и радиусом $2$.

14. Напишите неравенства, которым удовлетворяют координаты точек фигур, изображенных на рисунке 28.7.

а)

$x^2 + y^2 \le 4$

б)

$(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 1$

Рис. 28.7

а) На рисунке изображен круг (окружность и область внутри нее). Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из рисунка видно, что центр круга находится в начале координат, то есть его координаты $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

Окружность пересекает оси координат в точках $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Расстояние от центра $(0, 0)$ до любой из этих точек равно 2. Следовательно, радиус круга $R = 2$.

Уравнение окружности, которая является границей фигуры, имеет вид $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, что упрощается до $x^2 + y^2 = 4$.

Поскольку фигура включает в себя все точки внутри окружности и на самой окружности (граница сплошная), то координаты любой точки $(x, y)$ этой фигуры должны удовлетворять условию, что расстояние от нее до центра не превышает радиус. В квадрате это условие записывается как $x^2 + y^2 \le R^2$.

Таким образом, искомое неравенство: $x^2 + y^2 \le 4$.

Ответ: $x^2 + y^2 \le 4$

б) На этом рисунке также изображен круг. Сначала определим его центр и радиус.

Из графика видно, что круг расположен в первой координатной четверти. Его крайние точки по оси $x$ имеют координаты 0 и 2, а по оси $y$ — 0 и 2. Центр круга находится в середине этих отрезков. Координата $x_0$ центра равна $(0+2)/2 = 1$. Координата $y_0$ центра равна $(0+2)/2 = 1$. Таким образом, центр круга — точка $(1, 1)$.

Радиус $R$ можно найти как расстояние от центра $(1, 1)$ до любой точки на окружности. Например, до точки $(1, 2)$. $R = \sqrt{(1-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$. Итак, радиус $R = 1$.

Подставим координаты центра $(1, 1)$ и радиус $R=1$ в общее уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$, что равносильно $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Фигура включает в себя как саму окружность, так и область внутри нее. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ фигуры квадрат расстояния до центра должен быть меньше или равен квадрату радиуса. Это дает нам следующее неравенство:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 1$

15. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют неравенству $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 3$.

Заданное двойное неравенство $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 3$ можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x \ge 0 \\x^2 + y^2 - 2x \le 3\end{cases}$

Для анализа этих неравенств преобразуем выражение $x^2 + y^2 - 2x$, выделив в нем полный квадрат относительно переменной x:

$x^2 - 2x + y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 - 1$

Теперь система неравенств принимает вид:

$\begin{cases}(x - 1)^2 + y^2 - 1 \ge 0 \\(x - 1)^2 + y^2 - 1 \le 3\end{cases}$

После переноса констант в правую часть получаем:

$\begin{cases}(x - 1)^2 + y^2 \ge 1 \\(x - 1)^2 + y^2 \le 4\end{cases}$

Первое неравенство, $(x - 1)^2 + y^2 \ge 1$, описывает множество точек, лежащих на и вне окружности с центром в точке $C(1; 0)$ и радиусом $R_1 = 1$.

Второе неравенство, $(x - 1)^2 + y^2 \le 4$, описывает множество точек, лежащих на и внутри окружности с центром в той же точке $C(1; 0)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Искомая фигура является пересечением этих двух множеств. Это все точки плоскости, которые находятся между двумя концентрическими окружностями (или на их границах). Такая фигура называется кольцом.

Таким образом, для изображения фигуры необходимо начертить на координатной плоскости две окружности с общим центром в точке $(1; 0)$ и радиусами 1 и 2. Искомой фигурой будет область между этими окружностями, включая сами окружности.

Ответ: Искомая фигура — это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(1; 0)$ и радиусами $R_1=1$ и $R_2=2$. Границы кольца (сами окружности) принадлежат этой фигуре.