Страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Докажите, что для острых углов A имеют место равенства: $sin (90^\circ + A) = \cos A$, $\cos (90^\circ + A) = - \sin A$.

Для доказательства данных равенств, известных как формулы приведения, воспользуемся тригонометрическими формулами сложения углов.

Доказательство равенства $sin(90° + A) = cos A$

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$
В нашем случае $\alpha = 90°$ и $\beta = A$. Подставим эти значения в формулу:
$sin(90° + A) = sin(90°) \cdot cos A + cos(90°) \cdot sin A$
Значения синуса и косинуса для угла $90°$ известны: $sin(90°) = 1$ и $cos(90°) = 0$.
Подставим эти значения в полученное выражение:
$sin(90° + A) = 1 \cdot cos A + 0 \cdot sin A = cos A$
Таким образом, равенство $sin(90° + A) = cos A$ доказано.
Ответ: Равенство доказано.

Доказательство равенства $cos(90° + A) = -sin A$

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$
Здесь также $\alpha = 90°$ и $\beta = A$. Подставим эти значения в формулу:
$cos(90° + A) = cos(90°) \cdot cos A - sin(90°) \cdot sin A$
Используя известные значения $cos(90°) = 0$ и $sin(90°) = 1$, получаем:
$cos(90° + A) = 0 \cdot cos A - 1 \cdot sin A = -sin A$
Таким образом, равенство $cos(90° + A) = -sin A$ доказано.
Ответ: Равенство доказано.

65. Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 20 м пути. Найдите угол подъема в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

Пусть угол подъема равен $α$. Условие задачи можно смоделировать с помощью прямоугольного треугольника. В этом треугольнике длина пути является гипотенузой, а высота подъема — катетом, противолежащим углу подъема $α$.

По условию, гипотенуза равна 20 м, а противолежащий катет равен 1 м.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Таким образом, мы можем записать:

$sin(α) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{20} = 0.05$

Чтобы найти сам угол $α$ в градусах, необходимо вычислить арксинус этого значения:

$α = arcsin(0.05)$

Используя калькулятор, находим значение угла:

$α ≈ 2.8659...°$

В задаче требуется указать приближенное значение, выражаемое целым числом градусов. Округляем полученное значение до ближайшего целого числа:

$2.8659...° ≈ 3°$

Ответ: 3

66. Человек, пройдя вверх по склону холма 1000 м, поднялся на 70 м над плоскостью основания холма. Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

Для решения этой задачи мы можем смоделировать ситуацию с помощью прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:

• путь, пройденный человеком по склону, является гипотенузой ($c = 1000$ м);
• высота, на которую он поднялся, является катетом, противолежащим углу наклона холма ($a = 70$ м);
• угол наклона холма ($\alpha$) — это угол между гипотенузой и плоскостью основания.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Формула для нахождения синуса угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Подставим известные нам значения:
$\sin(\alpha) = \frac{70}{1000} = 0.07$

Теперь, чтобы найти сам угол $\alpha$, нам нужно вычислить арксинус этого значения.
$\alpha = \arcsin(0.07)$

Используя калькулятор, найдем значение угла в градусах:
$\alpha \approx 4.0135^\circ$

В задаче требуется указать приближенное значение, выраженное целым числом градусов. Округляем полученный результат до ближайшего целого числа:
$4.0135^\circ \approx 4^\circ$

Ответ: 4

67. Угол подъема дороги равен $5^\circ$. Найдите высоту, на которую поднимется пешеход, пройдя 100 м.

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Представим подъем дороги как гипотенузу прямоугольного треугольника, высоту подъема — как катет, противолежащий углу подъема, а горизонтальное расстояние — как второй катет.

В нашей задаче известны:

• Длина пути, пройденного пешеходом (гипотенуза $c$) = 100 м.
• Угол подъема дороги (угол $\alpha$) = 5°.

Нам нужно найти высоту подъема (катет $h$), который является противолежащим углу $\alpha$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$sin(\alpha) = \frac{h}{c}$

Подставим в формулу известные значения:

$sin(5^{\circ}) = \frac{h}{100}$

Выразим из этого уравнения высоту $h$:

$h = 100 \cdot sin(5^{\circ})$

С помощью калькулятора или тригонометрических таблиц находим значение $sin(5^{\circ})$:

$sin(5^{\circ}) \approx 0,087156$

Теперь можем вычислить высоту:

$h \approx 100 \cdot 0,087156 \approx 8,72$ м

Таким образом, пешеход поднимется на высоту примерно 8,72 метра.

Ответ: $100 \cdot sin(5^{\circ}) \approx 8,72$ м.

68. Найдите приближенное значение угла, под которым виден столб высотой 2,5 м, находящийся от наблюдателя на расстоянии 50 м.

В ответе укажите целое число градусов.

Для решения этой задачи мы можем использовать модель прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:
- высота столба будет катетом, противолежащим искомому углу;
- расстояние от наблюдателя до столба будет катетом, прилежащим к искомому углу.

Пусть $h$ — высота столба, $d$ — расстояние до столба, а $\alpha$ — угол, под которым виден столб.
Дано:
$h = 2,5$ м (противолежащий катет)
$d = 50$ м (прилежащий катет)

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
$ \tan(\alpha) = \frac{h}{d} $

Подставим числовые значения в формулу:
$ \tan(\alpha) = \frac{2,5}{50} = \frac{1}{20} = 0,05 $

Для малых углов значение тангенса угла приближенно равно самому углу, выраженному в радианах: $ \tan(\alpha) \approx \alpha $.
Следовательно, $ \alpha \approx 0,05 $ радиан.

Теперь переведем это значение из радиан в градусы, используя соотношение $ \pi \text{ радиан} = 180^{\circ} $.
$ \alpha_{\text{градусы}} = \alpha_{\text{радианы}} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} $
$ \alpha \approx 0,05 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{9^{\circ}}{\pi} $

Используя приближенное значение $ \pi \approx 3,14159 $, найдем численное значение угла:
$ \alpha \approx \frac{9^{\circ}}{3,14159} \approx 2,865^{\circ} $

В задаче требуется указать в ответе целое число градусов. Округляя полученное значение до ближайшего целого, получаем $3^{\circ}$.

Ответ: 3

69. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 80 см.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти длину стороны квадрата, а затем, зная сторону, вычислить его площадь.

1. Нахождение длины стороны квадрата.

Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Он вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — это длина стороны квадрата.

По условию задачи, периметр равен 80 см. Подставим это значение в формулу:

$4a = 80 \text{ см}$

Чтобы найти длину стороны $a$, разделим периметр на 4:

$a = \frac{80}{4} = 20 \text{ см}$

Следовательно, длина стороны квадрата равна 20 см.

2. Нахождение площади квадрата.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, то есть нужно возвести длину стороны в квадрат.

Мы уже знаем, что $a = 20 \text{ см}$. Подставим это значение в формулу площади:

$S = 20^2 = 20 \times 20 = 400 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь квадрата составляет 400 квадратных сантиметров.

Ответ: $400 \text{ см}^2$.

70. Найдите площадь прямоугольника, сторона которого равна 6, а диагональ равна 10.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. По условию задачи, одна из сторон равна 6, а диагональ — 10. Допустим, $a = 6$, а $d = 10$.

Диагональ, вместе с двумя смежными сторонами прямоугольника, образует прямоугольный треугольник. Стороны $a$ и $b$ являются катетами этого треугольника, а диагональ $d$ — его гипотенузой.

Для нахождения второй стороны прямоугольника ($b$) воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения в формулу:
$6^2 + b^2 = 10^2$
$36 + b^2 = 100$

Теперь найдем $b^2$:
$b^2 = 100 - 36$
$b^2 = 64$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $b$:
$b = \sqrt{64}$
$b = 8$

Итак, стороны прямоугольника равны 6 и 8.

Площадь прямоугольника ($S$) находится как произведение длин его смежных сторон:
$S = a \cdot b$
$S = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48.

71. Как изменится площадь прямоугольника, если его стороны:

а) увеличатся в два раза;

б) уменьшатся в три раза?

а) Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его сторон.
Пусть первоначальная площадь прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.
Если каждую сторону увеличить в два раза, то новые стороны будут равны $2a$ и $2b$.
Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = (2a) \cdot (2b) = 4ab$.
Чтобы определить, как изменилась площадь, найдём отношение новой площади к первоначальной:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4ab}{ab} = 4$.
Это означает, что площадь увеличилась в 4 раза.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

б) Пусть первоначальная площадь прямоугольника, как и в предыдущем пункте, равна $S_1 = a \cdot b$.
Если каждую сторону уменьшить в три раза, то новые стороны будут равны $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{3}$.
Новая площадь $S_2$ будет равна:
$S_2 = \frac{a}{3} \cdot \frac{b}{3} = \frac{ab}{9}$.
Найдём отношение новой площади к первоначальной:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{ab}{9}}{ab} = \frac{1}{9}$.
Это означает, что площадь уменьшилась в 9 раз.
Ответ: площадь уменьшится в 9 раз.

72. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. По условию задачи, $S = 1$, следовательно, $a^2 = 1$, и длина стороны $a = 1$.

Новый квадрат вписан в данный так, что его вершины находятся на серединах сторон исходного квадрата. Площадь нового квадрата можно найти несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Рассмотрим один из углов исходного квадрата. Сторона нового квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, который отсекается от угла. Катеты этого треугольника равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Обозначим сторону нового квадрата как $b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$b^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Площадь нового квадрата равна $S_{нового} = b^2$. Таким образом, искомая площадь равна $\frac{1}{2}$ или 0,5.

Способ 2: Вычитание площадей

Площадь нового квадрата можно получить, если из площади исходного квадрата вычесть площади четырех одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных в углах. Площадь одного такого треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$

Суммарная площадь четырех таких треугольников равна:

$4 \cdot S_{треуг.} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Тогда площадь нового квадрата равна:

$S_{нового} = S_{исходного} - 4 \cdot S_{треуг.} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Способ 3: Через диагональ нового квадрата

Можно заметить, что диагональ нового квадрата равна стороне исходного квадрата. То есть, диагональ $d$ нового квадрата равна $a=1$. Площадь квадрата можно найти по формуле через его диагональ: $S = \frac{d^2}{2}$.

Подставив значение диагонали, получаем площадь нового квадрата:

$S_{нового} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,5

73. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 10 м, площадь — $6 \text{ м}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 10 м. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 10$

Разделив обе части на 2, получим:

$a + b = 5$

Также, по условию, площадь прямоугольника равна 6 м². Формула площади: $S = a \cdot b$. Составим второе уравнение:

$a \cdot b = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a \cdot b = 6 \end{cases}$

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 5 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:

$(5 - b) \cdot b = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$5b - b^2 = 6$

$b^2 - 5b + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Очевидно, что корнями являются числа 2 и 3.

Либо можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$b_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$b_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$b_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Теперь найдем значения для второй стороны, используя выражение $a = 5 - b$:

Если $b_1 = 3$ м, то $a_1 = 5 - 3 = 2$ м.

Если $b_2 = 2$ м, то $a_2 = 5 - 2 = 3$ м.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

74. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 10 см и 4 см, а одна из высот равна 5 см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_{a}$, где $a$ – сторона параллелограмма (основание), а $h_{a}$ – высота, проведенная к этой стороне.

По условию, стороны параллелограмма равны 10 см и 4 см, а одна из высот равна 5 см. Обозначим стороны как $a = 10$ см и $b = 4$ см. Соответствующие им высоты будут $h_a$ и $h_b$. Нам необходимо определить, к какой из сторон проведена данная высота.

В любом параллелограмме высота, опущенная на одну из сторон, не может быть длиннее смежной стороны. Это следует из того, что высота является катетом в прямоугольном треугольнике, а смежная сторона — гипотенузой. Таким образом, должны выполняться следующие условия:

1. Высота, проведенная к стороне $a=10$ см, должна удовлетворять неравенству $h_a \le b$, то есть $h_a \le 4$ см.

2. Высота, проведенная к стороне $b=4$ см, должна удовлетворять неравенству $h_b \le a$, то есть $h_b \le 10$ см.

Данная в задаче высота равна 5 см. Проверим, какому из условий она удовлетворяет. Высота 5 см не может быть проведена к стороне 10 см, так как $5 \text{ см} > 4 \text{ см}$, что нарушает условие $h_a \le b$.

Следовательно, высота 5 см проведена к стороне 4 см, так как $5 \text{ см} \le 10 \text{ см}$, что соответствует условию $h_b \le a$.

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма, используя в качестве основания сторону $b=4$ см и соответствующую ей высоту $h_b = 5$ см.

$S = b \cdot h_b = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.

Ответ: 20 см².

75. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 6 см, а один из углов равен:

а) $120^{\circ}$;

б) $135^{\circ}$;

в) $150^{\circ}$.

Для нахождения площади ромба можно использовать формулу площади параллелограмма, так как ромб является его частным случаем. Формула площади через две стороны и угол между ними выглядит так: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Поскольку у ромба все стороны равны, $a = b$, и формула упрощается до $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

По условию задачи, сторона ромба $a = 6$ см. Теперь рассчитаем площадь для каждого из заданных углов.

а) Угол ромба равен $120\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(120\degree)$
Значение синуса $120\degree$ равно значению синуса $60\degree$: $\sin(120\degree) = \sin(180\degree - 60\degree) = \sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².
Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

б) Угол ромба равен $135\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(135\degree)$
Значение синуса $135\degree$ равно значению синуса $45\degree$: $\sin(135\degree) = \sin(180\degree - 45\degree) = \sin(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см².
Ответ: $18\sqrt{2}$ см².

в) Угол ромба равен $150\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(150\degree)$
Значение синуса $150\degree$ равно значению синуса $30\degree$: $\sin(150\degree) = \sin(180\degree - 30\degree) = \sin(30\degree) = \frac{1}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².
Ответ: 18 см².

76. Площадь параллелограмма равна 40 см$^2$, стороны — 5 см и 10 см. Найдите высоты этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $S$ — это площадь, $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. Поскольку у параллелограмма даны две стороны разной длины ($a_1$ и $a_2$), у него будет две соответствующие им высоты ($h_1$ и $h_2$).

По условию задачи дано: площадь $S = 40 \text{ см}^2$, первая сторона $a_1 = 5$ см и вторая сторона $a_2 = 10$ см.

Сначала найдем высоту $h_1$, проведенную к стороне $a_1 = 5$ см. Используем формулу площади $S = a_1 \cdot h_1$ и выразим из нее высоту: $h_1 = \frac{S}{a_1}$. Подставим известные значения: $h_1 = \frac{40}{5} = 8$ см.

Затем найдем высоту $h_2$, проведенную к стороне $a_2 = 10$ см. Используем формулу $S = a_2 \cdot h_2$ и выразим высоту: $h_2 = \frac{S}{a_2}$. Подставим известные значения: $h_2 = \frac{40}{10} = 4$ см.

Ответ: 8 см и 4 см.

77. Прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_{пр}$ вычисляется по формуле:
$S_{пр} = a \cdot b$

Согласно условию, стороны параллелограмма соответственно равны сторонам прямоугольника, то есть они также равны $a$ и $b$. Пусть $\alpha$ — искомый острый угол между этими сторонами. Площадь параллелограмма $S_{пар}$ можно найти по формуле:
$S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

В задаче указано, что площадь параллелограмма равна половине площади прямоугольника:
$S_{пар} = \frac{1}{2} S_{пр}$

Теперь подставим формулы площадей в это равенство:
$a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a \cdot b)$

Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон, они не могут быть равны нулю ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на произведение $a \cdot b$:
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Нам необходимо найти острый угол, то есть угол в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Единственное значение угла $\alpha$ в этом диапазоне, синус которого равен $\frac{1}{2}$, это $30^\circ$.
$\alpha = 30^\circ$

Ответ: 30°.

78. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, основание равно 6. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника используется формула $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – длина высоты, проведенной к этому основанию.

По условию, нам дан равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 5 и основанием равным 6.

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Это значит, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, основание разделяется на два отрезка длиной $\frac{6}{2} = 3$ каждый.

Эта высота образует два одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является боковая сторона исходного треугольника (равна 5), одним катетом – половина основания (равна 3), а вторым катетом – сама высота $h$.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$: $h^2 + 3^2 = 5^2$ $h^2 + 9 = 25$ $h^2 = 25 - 9$ $h^2 = 16$ $h = \sqrt{16} = 4$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12

79. Площадь треугольника равна 30. Одна его сторона равна 10. Найдите высоту, опущенную на эту сторону.

Для нахождения высоты треугольника воспользуемся формулой площади треугольника, которая связывает площадь, сторону и высоту, опущенную на эту сторону.

Формула площади треугольника выглядит так: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $S$ — это площадь треугольника, $a$ — это длина стороны, а $h_a$ — это высота, опущенная на сторону $a$.

В условии задачи даны следующие значения:

• Площадь треугольника $S = 30$.
• Длина одной из его сторон $a = 10$.

Мы ищем высоту $h_a$, опущенную на сторону $a$. Подставим известные значения в формулу:

$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_a$

Сначала упростим правую часть уравнения:

$30 = 5 \cdot h_a$

Теперь, чтобы найти $h_a$, разделим обе части уравнения на 5:

$h_a = \frac{30}{5}$

$h_a = 6$

Таким образом, высота треугольника, опущенная на сторону длиной 10, равна 6.

Ответ: 6

80. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен $30^\circ$.

Для вычисления площади треугольника, у которого известны две стороны и угол между ними, используется формула: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — это длины известных сторон, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами.

Согласно условию задачи, нам даны:

Сторона $a = 3$ см.

Сторона $b = 8$ см.

Угол между ними $\gamma = 30^\circ$.

Значение синуса угла $30^\circ$ является стандартной тригонометрической величиной и равно $\frac{1}{2}$.

Подставим все данные в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$

Произведем расчет:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, площадь треугольника равна 6 квадратным сантиметрам.

Ответ: 6 см².

81. Как изменится площадь треугольника, если:

а) не изменяя его сторону, увеличить опущенную на нее высоту в два раза;

б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза;

в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в восемь раз?

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – длина стороны треугольника, а $h$ – длина высоты, опущенной на эту сторону. Обозначим исходную площадь как $S_1$, а измененную – как $S_2$.

а) По условию, сторону $a$ не изменяют, а высоту увеличивают в два раза. Новая высота будет $h_2 = 2h$. Подставим новые значения в формулу площади: $S_2 = \frac{1}{2}a \cdot h_2 = \frac{1}{2}a \cdot (2h) = 2 \cdot (\frac{1}{2}ah) = 2S_1$. Ответ: площадь увеличится в два раза.

б) По условию, высоту $h$ не изменяют, а сторону уменьшают в три раза. Новая сторона будет $a_2 = \frac{a}{3}$. Подставим новые значения в формулу площади: $S_2 = \frac{1}{2}a_2 \cdot h = \frac{1}{2}(\frac{a}{3})h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}ah) = \frac{1}{3}S_1$. Ответ: площадь уменьшится в три раза.

в) По условию, сторону увеличивают в четыре раза ($a_2 = 4a$), а высоту уменьшают в восемь раз ($h_2 = \frac{h}{8}$). Подставим новые значения в формулу площади: $S_2 = \frac{1}{2}a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2}(4a)(\frac{h}{8}) = \frac{4}{8} \cdot (\frac{1}{2}ah) = \frac{1}{2}S_1$. Ответ: площадь уменьшится в два раза.