Номер 72, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

72. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. По условию задачи, $S = 1$, следовательно, $a^2 = 1$, и длина стороны $a = 1$.

Новый квадрат вписан в данный так, что его вершины находятся на серединах сторон исходного квадрата. Площадь нового квадрата можно найти несколькими способами.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Рассмотрим один из углов исходного квадрата. Сторона нового квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, который отсекается от угла. Катеты этого треугольника равны половине стороны исходного квадрата, то есть $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Обозначим сторону нового квадрата как $b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$b^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Площадь нового квадрата равна $S_{нового} = b^2$. Таким образом, искомая площадь равна $\frac{1}{2}$ или 0,5.

Способ 2: Вычитание площадей

Площадь нового квадрата можно получить, если из площади исходного квадрата вычесть площади четырех одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных в углах. Площадь одного такого треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$

Суммарная площадь четырех таких треугольников равна:

$4 \cdot S_{треуг.} = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Тогда площадь нового квадрата равна:

$S_{нового} = S_{исходного} - 4 \cdot S_{треуг.} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Способ 3: Через диагональ нового квадрата

Можно заметить, что диагональ нового квадрата равна стороне исходного квадрата. То есть, диагональ $d$ нового квадрата равна $a=1$. Площадь квадрата можно найти по формуле через его диагональ: $S = \frac{d^2}{2}$.

Подставив значение диагонали, получаем площадь нового квадрата:

$S_{нового} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0,5