Номер 73, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

73. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 10 м, площадь — $6 \text{ м}^2$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника равен 10 м. Формула периметра: $P = 2(a + b)$. Составим первое уравнение:

$2(a + b) = 10$

Разделив обе части на 2, получим:

$a + b = 5$

Также, по условию, площадь прямоугольника равна 6 м². Формула площади: $S = a \cdot b$. Составим второе уравнение:

$a \cdot b = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ a \cdot b = 6 \end{cases}$

Эту систему можно решить методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:

$a = 5 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:

$(5 - b) \cdot b = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$5b - b^2 = 6$

$b^2 - 5b + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Очевидно, что корнями являются числа 2 и 3.

Либо можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$b_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$b_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$b_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Теперь найдем значения для второй стороны, используя выражение $a = 5 - b$:

Если $b_1 = 3$ м, то $a_1 = 5 - 3 = 2$ м.

Если $b_2 = 2$ м, то $a_2 = 5 - 2 = 3$ м.

В обоих случаях получаем, что стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.