Номер 75, страница 136 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

75. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 6 см, а один из углов равен:

а) $120^{\circ}$;

б) $135^{\circ}$;

в) $150^{\circ}$.

Для нахождения площади ромба можно использовать формулу площади параллелограмма, так как ромб является его частным случаем. Формула площади через две стороны и угол между ними выглядит так: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Поскольку у ромба все стороны равны, $a = b$, и формула упрощается до $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между сторонами.

По условию задачи, сторона ромба $a = 6$ см. Теперь рассчитаем площадь для каждого из заданных углов.

а) Угол ромба равен $120\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(120\degree)$
Значение синуса $120\degree$ равно значению синуса $60\degree$: $\sin(120\degree) = \sin(180\degree - 60\degree) = \sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².
Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

б) Угол ромба равен $135\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(135\degree)$
Значение синуса $135\degree$ равно значению синуса $45\degree$: $\sin(135\degree) = \sin(180\degree - 45\degree) = \sin(45\degree) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см².
Ответ: $18\sqrt{2}$ см².

в) Угол ромба равен $150\degree$.
Подставляем известные значения в формулу площади:
$S = 6^2 \cdot \sin(150\degree)$
Значение синуса $150\degree$ равно значению синуса $30\degree$: $\sin(150\degree) = \sin(180\degree - 30\degree) = \sin(30\degree) = \frac{1}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².
Ответ: 18 см².