Страница 138 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

102. Напишите уравнение окружности:

а) с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $1$;

б) с центром в точке $C(1; -2)$ и радиусом $4$.

Для решения этой задачи воспользуемся общим уравнением окружности. Уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

а)

По условию, центр окружности находится в точке O(0; 0), а радиус равен 1. Это означает, что $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и $R = 1$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$

После упрощения получаем итоговое уравнение:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$

б)

По условию, центр окружности находится в точке C(1; -2), а радиус равен 4. Это означает, что $x_0 = 1$, $y_0 = -2$ и $R = 4$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$

После упрощения получаем итоговое уравнение:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$

103. Выясните, как расположена точка относительно окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 25$, если она имеет координаты:

а) (1; 2);

б) (3; 4);

в) (-4; 3);

г) (0; 5);

д) (5; -1).

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 25$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r$, квадрат которого равен 25. Таким образом, радиус окружности $r = \sqrt{25} = 5$.

Чтобы определить, где находится точка с координатами $(x_0, y_0)$ по отношению к окружности, нужно вычислить расстояние от центра окружности до этой точки или, что проще, подставить координаты точки в левую часть уравнения $x^2 + y^2$ и сравнить результат с $r^2 = 25$.

Существуют три возможных случая для точки $(x_0, y_0)$ и значения $S = x_0^2 + y_0^2$:
1. Если $S < 25$, то расстояние от центра до точки меньше радиуса, и точка находится внутри окружности.
2. Если $S = 25$, то расстояние от центра до точки равно радиусу, и точка находится на окружности.
3. Если $S > 25$, то расстояние от центра до точки больше радиуса, и точка находится вне окружности.

Проверим каждую точку:

а) Для точки с координатами $(1; 2)$:
Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:
$1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 25: $5 < 25$.
Следовательно, точка расположена внутри окружности.
Ответ: точка находится внутри окружности.

б) Для точки с координатами $(3; 4)$:
Подставляем $x = 3$ и $y = 4$ в левую часть уравнения:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

в) Для точки с координатами $(-4; 3)$:
Подставляем $x = -4$ и $y = 3$ в левую часть уравнения:
$(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

г) Для точки с координатами $(0; 5)$:
Подставляем $x = 0$ и $y = 5$ в левую часть уравнения:
$0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25$.
Сравниваем результат с 25: $25 = 25$.
Следовательно, точка расположена на окружности.
Ответ: точка находится на окружности.

д) Для точки с координатами $(5; -1)$:
Подставляем $x = 5$ и $y = -1$ в левую часть уравнения:
$5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
Сравниваем результат с 25: $26 > 25$.
Следовательно, точка расположена вне окружности.
Ответ: точка находится вне окружности.

104. Каким неравенством задается геометрическое место точек, не принадлежащих кругу с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$?

Для того чтобы определить неравенство, которое задает геометрическое место точек, не принадлежащих кругу, необходимо сначала рассмотреть определение самого круга.

Круг с центром в точке $C(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ — это множество всех точек $M(x; y)$ на плоскости, расстояние от которых до центра $C$ меньше или равно радиусу $R$.

Расстояние $d$ между произвольной точкой $M(x; y)$ и центром $C(x_0; y_0)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$

Таким образом, неравенство, задающее все точки внутри круга и на его границе (окружности), имеет вид:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \le R$

Поскольку обе части этого неравенства являются неотрицательными величинами, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знак неравенства. В результате получаем стандартное неравенство круга:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$

Теперь рассмотрим геометрическое место точек, которые не принадлежат этому кругу. Это все точки плоскости, которые находятся за пределами данного круга. Для любой такой точки расстояние $d$ от нее до центра $C$ должно быть строго больше радиуса $R$.

Запишем это условие в виде неравенства:

$d > R$

Подставляя формулу для расстояния, получаем:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} > R$

Аналогично, возведя в квадрат обе части неравенства, получаем искомое неравенство, которое задает все точки вне круга:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$

Ответ: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 > R^2$

105. Докажите, что уравнение:

а) $x^2 - 4x + y^2 = 0$;

б) $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность. Найдите ее радиус и координаты центра.

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 - 4x + y^2 = 0$ задает окружность, необходимо привести его к каноническому виду уравнения окружности: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ – это координаты центра, а $R$ – это радиус.
Для этого выделим полный квадрат для переменной $x$.
Исходное уравнение: $x^2 - 4x + y^2 = 0$
Группируем члены с $x$: $(x^2 - 4x) + y^2 = 0$
Чтобы получить полный квадрат $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$, нам нужно добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
Сворачиваем полный квадрат: $(x - 2)^2 - 4 + y^2 = 0$
Переносим свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 2)^2 + y^2 = 4$
Это уравнение соответствует каноническому виду, если записать его как $(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.
Так как мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду уравнения окружности и $R^2 = 4 > 0$, то оно действительно задает окружность.
Координаты центра окружности $(x_0, y_0)$ равны $(2, 0)$.
Радиус окружности $R$ равен $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R = 2$.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$ задает окружность, также приведем его к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Для этого выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Исходное уравнение: $x^2 + 2x + y^2 - 4y + 4 = 0$
Группируем члены с $x$ и члены с $y$: $(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0$
Выделяем полный квадрат для $x$: добавляем и вычитаем $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.
Выделяем полный квадрат для $y$: добавляем и вычитаем $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.
$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 4 = 0$
Сворачиваем полные квадраты:
$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 = 0$
Переносим свободный член в правую часть:
$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$
Это уравнение соответствует каноническому виду, если записать его как $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
Так как мы смогли привести исходное уравнение к каноническому виду уравнения окружности и $R^2 = 1 > 0$, то оно действительно задает окружность.
Координаты центра окружности $(x_0, y_0)$ равны $(-1, 2)$.
Радиус окружности $R$ равен $\sqrt{1} = 1$.
Ответ: уравнение задает окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом $R = 1$.

106. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; 2)$ и параллельную оси:

а) $Ox$

б) $Oy$

а) Прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox), является горизонтальной. Все точки на такой прямой имеют одну и ту же координату $y$. Так как прямая должна проходить через точку A(1; 2), то координата $y$ для всех точек этой прямой должна быть равна 2.
Уравнение прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку $(x_0, y_0)$, имеет вид $y = y_0$.
Для точки A(1; 2) получаем уравнение $y = 2$.
Ответ: $y = 2$

б) Прямая, параллельная оси ординат (оси Oy), является вертикальной. Все точки на такой прямой имеют одну и ту же координату $x$. Так как прямая должна проходить через точку A(1; 2), то координата $x$ для всех точек этой прямой должна быть равна 1.
Уравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку $(x_0, y_0)$, имеет вид $x = x_0$.
Для точки A(1; 2) получаем уравнение $x = 1$.
Ответ: $x = 1$

107. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 3)$ и перпендикулярную оси:

а) $Ox$

б) $Oy$

а) Прямая, перпендикулярная оси абсцисс (оси $Ox$), является вертикальной прямой. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — это постоянная, равная координате $x$ любой точки на этой прямой. Поскольку искомая прямая проходит через точку $A(2; 3)$, ее координата $x$ должна быть равна 2. Следовательно, уравнение этой прямой: $x = 2$. Ответ: $x = 2$

б) Прямая, перпендикулярная оси ординат (оси $Oy$), является горизонтальной прямой. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = k$, где $k$ — это постоянная, равная координате $y$ любой точки на этой прямой. Поскольку искомая прямая проходит через точку $A(2; 3)$, ее координата $y$ должна быть равна 3. Следовательно, уравнение этой прямой: $y = 3$. Ответ: $y = 3$

108. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом:

а) $k = 1$;

б) $k = 2$;

в) $k = \frac{1}{2}$;

г) $k = -1$;

д) $k = -2$;

е) $k = -\frac{1}{2}$.

Изобразите эти прямые.

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — коэффициент, отвечающий за сдвиг прямой по оси $y$ (точка пересечения с осью $y$).

По условию, все прямые проходят через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим эти координаты в общее уравнение прямой: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b = 0$.

Таким образом, уравнение для всех искомых прямых имеет вид $y = kx$. Для построения графика каждой прямой нам нужны две точки. Одна точка — это всегда начало координат $(0, 0)$. Вторую точку можно найти, подставив любое ненулевое значение $x$ в уравнение.

а)

Для $k = 1$ уравнение прямой: $y = 1 \cdot x$, или $y = x$.Для построения графика, кроме точки $(0, 0)$, возьмем вторую точку, например, при $x = 1$, $y = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Ответ: $y = x$.

б)

Для $k = 2$ уравнение прямой: $y = 2x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.
Ответ: $y = 2x$.

в)

Для $k = \frac{1}{2}$ уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x$.Для построения графика найдем вторую точку. Удобно взять $x=2$, тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x$.

г)

Для $k = -1$ уравнение прямой: $y = -1 \cdot x$, или $y = -x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$.
Ответ: $y = -x$.

д)

Для $k = -2$ уравнение прямой: $y = -2x$.Для построения графика найдем вторую точку. Например, при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.
Ответ: $y = -2x$.

е)

Для $k = -\frac{1}{2}$ уравнение прямой: $y = -\frac{1}{2}x$.Для построения графика найдем вторую точку. Удобно взять $x=2$, тогда $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, -1)$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

Изображение прямых:

На графике ниже изображены все шесть прямых. Каждая прямая проходит через начало координат $(0,0)$ и имеет свой угловой коэффициент $k$, который определяет ее наклон.

• При $k > 0$ (синяя, красная, зеленая прямые) прямые расположены в I и III координатных четвертях. Чем больше $k$, тем "круче" прямая идет вверх.
• При $k < 0$ (фиолетовая, оранжевая, бирюзовая прямые) прямые расположены во II и IV координатных четвертях. Чем меньше $k$ (т.е. чем больше его абсолютное значение), тем "круче" прямая идет вниз.

109. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) $A_1(1; 2), A_2(3; 2);$
б) $A_1(1; 2), A_2(2; 3);$
в) $A_1(1; 2), A_2(2; 1).$

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки $A_1(x_1; y_1)$ и $A_2(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

Это уравнение можно также представить в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, который вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

а) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(3; 2)$.

В этом случае $x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 3, y_2 = 2$.

Так как ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы ($y_1 = y_2 = 2$), то прямая параллельна оси абсцисс Ox. Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — постоянное значение ординаты.

Следовательно, уравнение прямой: $y = 2$.

Проверим с помощью общей формулы. Так как $y_2 - y_1 = 2 - 2 = 0$, чтобы избежать деления на ноль, преобразуем каноническое уравнение к виду $(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$.

$(x - 1)(2 - 2) = (y - 2)(3 - 1)$

$(x - 1) \cdot 0 = (y - 2) \cdot 2$

$0 = 2(y - 2)$

$y - 2 = 0$

$y = 2$

Ответ: $y = 2$.

б) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 3)$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 3$.

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{3 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1}$

$x - 1 = y - 2$

Выразим $y$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$:

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$.

в) Даны точки $A_1(1; 2)$ и $A_2(2; 1)$.

Подставим координаты точек в каноническое уравнение прямой:

$x_1 = 1, y_1 = 2$ и $x_2 = 2, y_2 = 1$.

$\frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 2}{1 - 2}$

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1}$

$x - 1 = -(y - 2)$

$x - 1 = -y + 2$

Выразим $y$ из полученного уравнения:

$y = -x + 2 + 1$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.

110. Изобразите прямую, заданную уравнением:

а) $y = x$

б) $y = 2x + 1$

в) $y = 1 - x$

г) $y = -1 - x$

а) Чтобы изобразить прямую, заданную уравнением $y = x$, необходимо найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этой прямой. Для этого выберем два произвольных значения аргумента $x$ и вычислим соответствующие значения функции $y$.

1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 0$. Получаем точку с координатами $(0, 0)$ – начало координат.

2. Пусть $x = 2$. Тогда $y = 2$. Получаем точку с координатами $(2, 2)$.

Теперь отметим эти две точки на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(2, 2)$.

б) Чтобы изобразить прямую, заданную уравнением $y = 2x + 1$, найдем координаты двух точек этой прямой.

1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку пересечения с осью ординат $(0, 1)$.

2. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(1, 3)$.

Отметим точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Прямая возрастает и пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$.

в) Чтобы изобразить прямую, заданную уравнением $y = 1 - x$, найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Oy$: пусть $x = 0$. Тогда $y = 1 - 0 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.

2. Точка пересечения с осью $Ox$: пусть $y = 0$. Тогда $0 = 1 - x$, откуда $x = 1$. Получаем точку $(1, 0)$.

Отметим точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ на координатной плоскости и соединим их прямой. Прямая убывает, проходя через первый, второй и четвертый координатные углы.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

г) Чтобы изобразить прямую, заданную уравнением $y = -1 - x$, найдем точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Oy$: пусть $x = 0$. Тогда $y = -1 - 0 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.

2. Точка пересечения с осью $Ox$: пусть $y = 0$. Тогда $0 = -1 - x$, откуда $x = -1$. Получаем точку $(-1, 0)$.

Отметим точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Прямая убывает, проходя через второй, третий и четвертый координатные углы.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(-1, 0)$.

111. Определите, какие из перечисленных ниже пар прямых:

а) параллельны;

б) перпендикулярны:

1) $x+y-2=0, x+y+3=0;$

2) $x+y-2=0, x-y-3=0;$

3) $-7x+y=0, 7x-y+4=0;$

4) $4x-2y-8=0, -x-2y+4=0.$

Для определения взаимного расположения двух прямых, заданных общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, применяются следующие критерии. Прямые параллельны, если коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$. Чтобы прямые не совпадали, это отношение не должно быть равно отношению свободных членов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$. Прямые перпендикулярны, если сумма произведений соответствующих коэффициентов при $x$ и $y$ равна нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Проанализируем каждую пару прямых на соответствие этим условиям.

а) параллельны

Проверим, какие из заданных пар прямых удовлетворяют условию параллельности.

1) $x + y - 2 = 0$ и $x + y + 3 = 0$

Для этих прямых коэффициенты равны: $A_1 = 1, B_1 = 1, C_1 = -2$ и $A_2 = 1, B_2 = 1, C_2 = 3$.

Вычислим отношения коэффициентов: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$.

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$, прямые параллельны. Для проверки, что они не совпадают, сравним с отношением свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-2}{3}$. Так как $1 \neq -\frac{2}{3}$, прямые являются параллельными, но не совпадающими.

3) $-7x + y = 0$ и $7x - y + 4 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = -7, B_1 = 1, C_1 = 0$ и $A_2 = 7, B_2 = -1, C_2 = 4$.

Вычислим отношения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{-7}{7} = -1$ и $\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Отношения равны, значит, прямые параллельны. Проверим несовпадение: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{0}{4} = 0$. Так как $-1 \neq 0$, прямые параллельны и не совпадают.

Ответ: пары прямых 1) и 3) параллельны.

б) перпендикулярны

Проверим, какие из заданных пар прямых удовлетворяют условию перпендикулярности.

2) $x + y - 2 = 0$ и $x - y - 3 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = 1, B_1 = 1$ и $A_2 = 1, B_2 = -1$.

Проверим условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$: $1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0$. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

4) $4x - 2y - 8 = 0$ и $-x - 2y + 4 = 0$

Коэффициенты: $A_1 = 4, B_1 = -2$ и $A_2 = -1, B_2 = -2$.

Проверим условие $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$: $4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = -4 + 4 = 0$. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: пары прямых 2) и 4) перпендикулярны.

112. Изобразите геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:

а) $0 \le x \le 3; 0 \le y \le 3;$

б) $x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 3.$

а) Требуется найти геометрическое место точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств:
$0 \le x \le 3$
$0 \le y \le 3$
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
Первое двойное неравенство $0 \le x \le 3$ задает на координатной плоскости множество точек, абсциссы которых находятся в промежутке от $0$ до $3$ включительно. Геометрически это вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=3$.
Второе двойное неравенство $0 \le y \le 3$ задает множество точек, ординаты которых находятся в промежутке от $0$ до $3$ включительно. Геометрически это горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=3$.
Геометрическое место точек, удовлетворяющее всей системе, является пересечением этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник. В данном случае, так как длины сторон равны ($3-0=3$), это квадрат.
Вершины этого квадрата находятся в точках пересечения граничных прямых $x=0, x=3, y=0, y=3$. Это точки с координатами $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$ и $(0, 3)$.
Поскольку все неравенства нестрогие (содержат знак $\le$), то границы области — стороны квадрата — включаются в искомое геометрическое место точек.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это квадрат с вершинами в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 3)$, $(0, 3)$, включающий свою внутреннюю область и границы.

б) Требуется найти геометрическое место точек, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств:
$x \ge 0$
$y \ge 0$
$x + y \le 3$
Рассмотрим каждое неравенство.
Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость относительно оси OY, включая саму ось.
Неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость относительно оси OX, включая саму ось.
В совокупности неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ определяют первую координатную четверть, включая ее границы (положительные полуоси).
Третье неравенство $x + y \le 3$ задает полуплоскость. Чтобы определить ее, построим граничную прямую $x + y = 3$. Эта прямая проходит через точки $(3, 0)$ (пересечение с осью OX) и $(0, 3)$ (пересечение с осью OY). Для определения нужной полуплоскости возьмем пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив ее в неравенство, получим $0 + 0 \le 3$, что является верным утверждением ($0 \le 3$). Значит, искомая полуплоскость содержит начало координат и расположена ниже прямой $x + y = 3$.
Геометрическое место точек, удовлетворяющее всей системе, является пересечением первой координатной четверти и полуплоскости $x + y \le 3$.
Это пересечение представляет собой треугольник, ограниченный прямыми $x=0$, $y=0$ и $x+y=3$.
Вершинами этого треугольника являются точки пересечения данных прямых:
- $x=0$ и $y=0$ $\implies$ $(0, 0)$
- $y=0$ и $x+y=3$ $\implies$ $x=3$ $\implies$ $(3, 0)$
- $x=0$ и $x+y=3$ $\implies$ $y=3$ $\implies$ $(0, 3)$
Поскольку все неравенства нестрогие, границы треугольника (его катеты и гипотенуза) включаются в искомое множество.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(3, 0)$ и $(0, 3)$, включающий свою внутреннюю область и границы.

113. Нарисуйте многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют неравенствам:

$\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 2. \end{array} \right.$

Для того чтобы нарисовать (описать) многоугольник, координаты точек которого удовлетворяют заданным неравенствам, необходимо последовательно рассмотреть каждую из трех указанных областей на координатной плоскости и найти их общее пересечение.

Заданная система неравенств:

$ \begin{cases} 0 \le x \le 4, \\ 0 \le y \le 4, \\ x + y \ge 2. \end{cases} $

1. Неравенства $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 4$ вместе определяют область, представляющую собой квадрат. Границы этого квадрата проходят по прямым $x=0$ (ось OY), $x=4$, $y=0$ (ось OX) и $y=4$. Вершины этого квадрата находятся в точках с координатами $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$ и $(0,4)$.

2. Неравенство $x + y \ge 2$ определяет полуплоскость. Границей этой области является прямая $x + y = 2$. Для ее построения найдем точки пересечения с осями координат:
- при $x=0$, $y=2$, получаем точку $(0,2)$;
- при $y=0$, $x=2$, получаем точку $(2,0)$.
Прямая проходит через эти две точки. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением неравенства, можно использовать пробную точку, например, начало координат $(0,0)$. Подставив эти значения в неравенство, получим $0 + 0 \ge 2$, что является ложным. Следовательно, искомая область — это полуплоскость, которая не содержит начало координат, то есть область "выше" и "правее" прямой $x+y=2$.

3. Искомый многоугольник является пересечением этих трех областей: квадрата и полуплоскости. Это означает, что мы берем квадрат, определенный первыми двумя неравенствами, и отсекаем от него ту часть, которая не удовлетворяет третьему неравенству (то есть область, где $x+y < 2$). Прямая $x+y=2$ отсекает от левого нижнего угла квадрата прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(2,0)$ и $(0,2)$.

В результате получается пятиугольник. Его вершины — это точки пересечения граничных линий, образующих фигуру:
- Точка $(2,0)$ — пересечение прямых $y=0$ и $x+y=2$.
- Точка $(4,0)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(4,4)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(0,4)$ — вершина исходного квадрата.
- Точка $(0,2)$ — пересечение прямых $x=0$ и $x+y=2$.

Ответ: Искомый многоугольник — это пятиугольник с вершинами в точках с координатами $(2,0)$, $(4,0)$, $(4,4)$, $(0,4)$ и $(0,2)$. Он представляет собой квадрат с вершинами в $(0,0), (4,0), (4,4), (0,4)$, из которого вырезан прямоугольный треугольник с вершинами в $(0,0), (2,0), (0,2)$.

114. Изобразите фигуру, координаты $(x; y)$ точек которой удовлетворяют неравенствам $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 1$.

Для того чтобы изобразить фигуру, заданную неравенствами $0 \le x^2 + y^2 - 2x \le 1$, необходимо проанализировать это выражение. Преобразуем среднюю часть неравенства, выделив полный квадрат для переменной $x$.

Выражение $x^2 + y^2 - 2x$ можно переписать, сгруппировав члены с $x$ и дополнив их до полного квадрата:$x^2 - 2x + y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = (x-1)^2 + y^2 - 1$.

Теперь исходное двойное неравенство можно записать в более удобном для анализа виде:$0 \le (x-1)^2 + y^2 - 1 \le 1$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно. Рассмотрим каждое из них.

1. Левая часть неравенства: $0 \le (x-1)^2 + y^2 - 1$. Его можно переписать как $(x-1)^2 + y^2 \ge 1$. Уравнение $(x-1)^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в точке $C(1; 0)$ и радиусом $r_1 = 1$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 + y^2 \ge 1$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и вне ее.

2. Правая часть неравенства: $(x-1)^2 + y^2 - 1 \le 1$. Его можно переписать как $(x-1)^2 + y^2 \le 2$. Уравнение $(x-1)^2 + y^2 = 2$ задает окружность с тем же центром $C(1; 0)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{2}$. Следовательно, неравенство $(x-1)^2 + y^2 \le 2$ описывает все точки, лежащие на этой окружности и внутри нее.

Искомая фигура является пересечением множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Геометрически это кольцо (аннулус), которое заключено между двумя концентрическими окружностями. Центр обеих окружностей находится в точке $(1; 0)$. Внутренняя граница кольца — это окружность радиусом $1$, а внешняя — окружность радиусом $\sqrt{2}$. Поскольку оба неравенства нестрогие (содержат знаки $\le$ и $\ge$), точки на обеих граничных окружностях также принадлежат искомой фигуре.

Ответ: Искомая фигура — это кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в точке $(1; 0)$. Радиус внутренней окружности равен $1$, а радиус внешней окружности равен $\sqrt{2}$. Обе окружности, являющиеся границами, включены в фигуру.