Страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, а его диагональ как $d$.

Периметр прямоугольника ($P_{прям}$) определяется по формуле $P_{прям} = 2(a+b)$. Согласно условию задачи, он равен 34 см.
$2(a+b) = 34$

Из этого выражения найдем сумму длин сторон прямоугольника:
$a+b = \frac{34}{2} = 17$ см.

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны каждого такого треугольника - это катеты $a$ и $b$ (стороны прямоугольника) и гипотенуза $d$ (диагональ прямоугольника).

Периметр одного из этих треугольников ($P_{треуг}$) равен сумме длин его сторон: $P_{треуг} = a+b+d$. По условию, этот периметр равен 30 см.
$a+b+d = 30$

Мы уже знаем, что сумма $a+b$ равна 17 см. Подставим это значение в формулу периметра треугольника, чтобы найти длину диагонали $d$:
$17 + d = 30$
$d = 30 - 17$
$d = 13$ см.

Так как в прямоугольнике диагонали равны, то длина каждой диагонали составляет 13 см.

Ответ: 13 см.

21. Постройте прямоугольник по двум соседним сторонам.

Для построения прямоугольника по двум заданным соседним сторонам, длины которых обозначим как $a$ и $b$, с использованием циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующую последовательность шагов.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $A$, которая будет одной из вершин будущего прямоугольника.

2. С помощью циркуля измерим длину первого отрезка $a$. Установив ножку циркуля в точку $A$, отложим эту длину на прямой $l$, отметив точку $B$. Отрезок $AB$ является первой стороной прямоугольника, $AB = a$.

3. Далее необходимо построить прямой угол в вершине $A$. Для этого проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.
а) Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую $l$ в двух точках.
б) Из этих двух точек пересечения, как из центров, проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус на предыдущем шаге) так, чтобы они пересеклись в некоторой точке $M$, не лежащей на прямой $l$.
в) Соединим точку $A$ с точкой $M$ при помощи линейки. Прямая $AM$ будет перпендикулярна прямой $l$, следовательно, угол $\angle MAB$ равен $90^\circ$.

4. С помощью циркуля измерим длину второго отрезка $b$. Отложим эту длину от точки $A$ вдоль построенной перпендикулярной прямой $AM$. Отметим полученную точку $D$. Отрезок $AD$ является второй стороной прямоугольника, $AD = b$.

5. Теперь найдем положение четвертой вершины $C$. Эта вершина должна быть удалена от точки $D$ на расстояние $a$ и от точки $B$ на расстояние $b$.
а) Раствор циркуля установим равным длине $a$ ($AB$). Проведем дугу с центром в точке $D$.
б) Раствор циркуля установим равным длине $b$ ($AD$). Проведем дугу с центром в точке $B$.

6. Точка пересечения этих двух дуг и есть искомая четвертая вершина прямоугольника — точка $C$.

7. Соединим отрезками точку $C$ с точками $B$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. Докажем это. По построению, стороны $AB = a$ и $AD = b$, а угол $\angle DAB = 90^\circ$. Также по построению, $DC = a$ (как радиус дуги с центром в $D$) и $BC = b$ (как радиус дуги с центром в $B$). Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DC$ и $AD=BC$), он является параллелограммом. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, построение выполнено верно.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

22. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Для доказательства воспользуемся геометрическим подходом.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки последовательно, мы получим четырехугольник $KLMN$. Нам необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства сторон: $KL = LM = MN = NK$.

Рассмотрим четыре треугольника, которые образуются в углах прямоугольника: $\triangle NAK$, $\triangle KBL$, $\triangle LCM$ и $\triangle MDN$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$. Следовательно, все четыре треугольника являются прямоугольными.

Найдем длины катетов этих треугольников, исходя из того, что точки $K, L, M, N$ — середины сторон:

• $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$
• $BL = LC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$
• $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}$
• $DN = NA = \frac{DA}{2} = \frac{b}{2}$

Теперь сравним катеты четырех прямоугольных треугольников:

• $\triangle NAK$ имеет катеты $NA = \frac{b}{2}$ и $AK = \frac{a}{2}$.
• $\triangle KBL$ имеет катеты $KB = \frac{a}{2}$ и $BL = \frac{b}{2}$.
• $\triangle LCM$ имеет катеты $LC = \frac{b}{2}$ и $CM = \frac{a}{2}$.
• $\triangle MDN$ имеет катеты $MD = \frac{a}{2}$ и $DN = \frac{b}{2}$.

Все четыре треугольника равны между собой по двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников). То есть, $\triangle NAK \cong \triangle KBL \cong \triangle LCM \cong \triangle MDN$.

Стороны четырехугольника $KLMN$ являются гипотенузами этих равных треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, их гипотенузы также равны:

$NK = KL = LM = MN$

Можно также явно вычислить длину каждой стороны по теореме Пифагора. Например, для стороны $KL$ в треугольнике $\triangle KBL$:

$KL^2 = KB^2 + BL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

$KL = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Аналогичные вычисления для остальных сторон дадут тот же результат, что подтверждает их равенство.

Поскольку все четыре стороны четырехугольника $KLMN$ равны, он по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника, является ромбом, так как все его стороны равны. Они являются гипотенузами четырех равных прямоугольных треугольников, образованных в углах прямоугольника.

23. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4 : 5. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб, диагонали которого пересекаются и образуют со стороной ромба треугольник.

Ключевые свойства ромба, которые мы используем для решения:
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя полудиагоналями и одной стороной ромба. Этот треугольник является прямоугольным, так как один из его углов — это угол между диагоналями, который равен $90^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Так как один угол в нашем треугольнике равен $90^\circ$, то сумма двух других острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Эти два острых угла и есть углы, которые диагонали образуют со стороной ромба.

По условию, эти углы относятся как 4:5. Обозначим их как $4x$ и $5x$.

Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $90^\circ$:$4x + 5x = 90^\circ$

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ$

Теперь найдем величины этих острых углов:
Первый угол: $4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$.
Второй угол: $5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы ромба будут в два раза больше найденных углов.
Один угол ромба равен $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противолежащие углы равны, поэтому у него два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $80^\circ$ и $100^\circ$.

24. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 8$ см, $b = 10$ см и $c = 12$ см. Треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, называется срединным треугольником.

Стороны срединного треугольника являются средними линиями исходного треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Согласно теореме о средней линии, средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Следовательно, чтобы найти длины сторон нового треугольника, нужно разделить длины сторон исходного треугольника на 2.

Вычислим длины сторон нового треугольника:
Первая сторона: $s_1 = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$.
Вторая сторона: $s_2 = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$.
Третья сторона: $s_3 = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.

Таким образом, стороны искомого треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см.
Ответ: 4 см, 5 см, 6 см.

25. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано:ABCD — произвольный четырехугольник. Точки K, L, M и N — середины его сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Доказать:Четырехугольник KLMN является параллелограммом.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Она разделяет четырехугольник ABCD на два треугольника: ▵ABC и ▵ADC.

2. Рассмотрим треугольник ▵ABC. По условию, точка K — середина стороны AB, а точка L — середина стороны BC. Следовательно, отрезок KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, получаем:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник ▵ADC. По условию, точка N — середина стороны DA, а точка M — середина стороны CD. Следовательно, отрезок NM является средней линией этого треугольника. По тому же свойству, получаем:
$NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$.

4. Сравнивая полученные результаты для отрезков KL и NM, мы видим, что оба они параллельны одной и той же прямой AC и равны одной и той же величине (половине длины AC). Из этого следует, что:
$KL \parallel NM$ и $KL = NM$.

5. Мы рассматриваем четырехугольник KLMN, в котором две противолежащие стороны (KL и NM) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, KLMN — параллелограмм. Утверждение доказано.

Ответ:Утверждение доказано. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

26. Диагонали четырехугольника равны $a$ и $b$. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, длины диагоналей которого равны $AC = a$ и $BD = b$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный этими точками, — это $KLMN$. Нам необходимо найти его периметр.

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ является его средней линией, так как точки $K$ и $L$ — середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, длина $KL$ равна половине длины диагонали $AC$: $KL = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.
Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольники, образованные второй диагональю $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ — средняя линия, откуда $KN = \frac{1}{2} BD = \frac{b}{2}$.
В треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ — средняя линия, откуда $LM = \frac{1}{2} BD = \frac{b}{2}$.

Периметр $P$ четырехугольника $KLMN$ — это сумма длин его сторон:$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$.
Подставим найденные значения:$P_{KLMN} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2}$.

Сгруппируем и сложим слагаемые:$P_{KLMN} = (\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) + (\frac{b}{2} + \frac{b}{2}) = a + b$.
Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, равен сумме длин его диагоналей. Ответ: $a + b$

27. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 4 и 5. Найдите высоту этой трапеции.

Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна её основаниям. Эта перпендикулярная сторона и является высотой трапеции. Вторая боковая сторона является наклонной.

Пусть нам даны две боковые стороны с длинами 4 и 5.

Если мы проведем высоту из вершины тупого угла на большее основание, мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

- гипотенузой будет наклонная боковая сторона;

- одним из катетов будет высота трапеции (которая равна второй, перпендикулярной боковой стороне).

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, наклонная боковая сторона трапеции всегда длиннее её высоты.

Сравнивая длины 4 и 5, мы видим, что $5 > 4$. Это означает, что большая сторона (5) должна быть наклонной стороной (гипотенузой), а меньшая сторона (4) — высотой (катетом).

Таким образом, высота данной трапеции равна 4.

Ответ: 4

28. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$?

В равнобедренной (или равнобокой) трапеции углы при каждом из оснований равны. Пусть углы при одном основании равны $\alpha$, а углы при другом основании равны $\beta$.

Одно из ключевых свойств любой трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей. Таким образом, мы можем записать соотношение: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Противолежащие углы в равнобедренной трапеции — это один угол при верхнем основании и один угол при нижнем основании (например, $\alpha$ и $\beta$). По условию задачи, их разность равна $40^\circ$. Поскольку в трапеции (если она не является прямоугольником) один из этих углов будет острым, а другой — тупым, их разность не равна нулю. Запишем это условие в виде уравнения, ধরেм, что $\beta$ - больший угол: $\beta - \alpha = 40^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 40^\circ \end{cases} $

Для решения этой системы можно сложить оба уравнения. Это позволит исключить переменную $\alpha$:
$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ$
$2\beta = 220^\circ$
$\beta = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь, зная значение $\beta$, мы можем найти $\alpha$, подставив его в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:
$\alpha + 110^\circ = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ - 110^\circ$
$\alpha = 70^\circ$

Таким образом, мы определили, что в трапеции есть два острых угла по $70^\circ$ и два тупых угла по $110^\circ$.

Ответ: углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$ и $110^\circ$.

29. Средняя линия трапеции равна 5. Одно основание равно 4. Найдите другое основание.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Обозначим среднюю линию как $m$, а основания как $a$ и $b$. Формула для вычисления средней линии выглядит следующим образом: $m = \frac{a + b}{2}$.

По условию задачи нам известны следующие величины:

Длина средней линии $m = 5$.

Длина одного основания (пусть это будет $a$) $a = 4$.

Необходимо найти длину второго основания $b$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = \frac{4 + b}{2}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $b$. Умножим обе части уравнения на 2:

$5 \cdot 2 = 4 + b$

$10 = 4 + b$

Чтобы найти $b$, вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$b = 10 - 4$

$b = 6$

Таким образом, второе основание трапеции равно 6.

Ответ: 6

30. Периметр трапеции равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон. Пусть a и b — это основания трапеции (параллельные стороны), а c и d — ее боковые стороны (непараллельные).

Формула периметра P: $P = a + b + c + d$.

По условию задачи, периметр равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см:

$P = 50$ см

$c + d = 20$ см

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти сумму оснований (a + b):

$50 = (a + b) + (c + d)$

$50 = (a + b) + 20$

Отсюда выразим сумму оснований:

$a + b = 50 - 20 = 30$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее m, по определению равна полусумме ее оснований.

Формула для нахождения средней линии: $m = \frac{a + b}{2}$.

Теперь мы можем вычислить длину средней линии, используя найденную сумму оснований:

$m = \frac{30}{2} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

31. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, длины оснований равны $BC = 4$ см и $AD = 10$ см.

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, где точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой боковой стороны $CD$. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Проведем одну из диагоналей трапеции, например, диагональ $AC$. Пусть точка $P$ — это точка пересечения диагонали $AC$ и средней линии $MN$. Диагональ $AC$ делит среднюю линию $MN$ на два отрезка: $MP$ и $PN$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $M$ — середина стороны $AB$ и $MP \parallel BC$ (поскольку $MN \parallel BC$), то по теореме о средней линии треугольника, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Следовательно, длина отрезка $MP$ равна: $MP = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $N$ — середина стороны $CD$ и $PN \parallel AD$ (поскольку $MN \parallel AD$), то по той же теореме отрезок $PN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Следовательно, длина отрезка $PN$ равна: $PN = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: 2 см и 5 см.

32. Стороны угла с вершиной $O$ пересечены двумя параллельными прямыми в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно. Найдите:

а) CD, если $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см;

б) OC и OD, если $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8$ (см);

в) OA и OB, если $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14$ (см).

По условию, стороны угла с вершиной O пересекаются двумя параллельными прямыми. Будем считать, что на одной стороне угла лежат точки A и B, а на другой — C и D. При этом первая параллельная прямая проходит через точки A и C, а вторая — через B и D. Таким образом, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

В этой конфигурации треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ подобны. Основанием для подобия является то, что угол при вершине O у них общий, а углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$ равны как соответственные при параллельных прямых $AC$ и $BD$ и секущей $OB$. Аналогично, $\angle OCA = \angle ODB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон, которая будет использоваться для решения всех пунктов задачи: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $$

а)

Дано: $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см. Точки A и B лежат на одной стороне угла, причем, судя по контексту, в порядке O-A-B. Тогда длина отрезка $OB$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $AB$: $OB = OA + AB = 8 + 4 = 12$ см. Используем соотношение из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $$ Подставим известные значения: $$ \frac{8}{12} = \frac{OC}{6} $$ Выразим $OC$: $$ OC = \frac{8 \cdot 6}{12} = \frac{48}{12} = 4 \text{ см} $$ Искомый отрезок $CD$ — это разность длин отрезков $OD$ и $OC$: $$ CD = OD - OC = 6 - 4 = 2 \text{ см} $$ Ответ: $CD = 2$ см.

б)

Дано: $OA:OB = 3:5$ и $OD - OC = 8$ см. Из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ имеем: $$ \frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} $$ Поскольку $OA:OB = 3:5$, то и $\frac{OC}{OD} = \frac{3}{5}$. Это означает, что мы можем представить длины отрезков $OC$ и $OD$ через коэффициент пропорциональности $x$: $OC = 3x$, $OD = 5x$. Используем второе условие: $OD - OC = 8$ см. Подставим выражения через $x$: $$ 5x - 3x = 8 $$ $$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$ Теперь найдем длины искомых отрезков: $OC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см. $OD = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см. Ответ: $OC = 12$ см, $OD = 20$ см.

в)

Дано: $OC:CD = 2:3$ и $OA + OB = 14$ см. Сначала найдем отношение $\frac{OC}{OD}$. Точки C и D лежат на одной стороне угла в порядке O-C-D. Поэтому $OD = OC + CD$. Из отношения $OC:CD = 2:3$ можно выразить длины через коэффициент пропорциональности $x$: $OC = 2x$, $CD = 3x$. Тогда $OD = 2x + 3x = 5x$. Теперь найдем отношение длин отрезков $OC$ и $OD$: $$ \frac{OC}{OD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $$ Из подобия треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ следует, что: $$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{2}{5} $$ Теперь выразим длины $OA$ и $OB$ через другой коэффициент пропорциональности $y$: $OA = 2y$, $OB = 5y$. Используем второе условие: $OA + OB = 14$ см. Подставим выражения через $y$: $$ 2y + 5y = 14 $$ $$ 7y = 14 $$ $$ y = 2 $$ Найдем длины искомых отрезков: $OA = 2y = 2 \cdot 2 = 4$ см. $OB = 5y = 5 \cdot 2 = 10$ см. Ответ: $OA = 4$ см, $OB = 10$ см.

33. Разделите данный отрезок на:

а) три равные части;

б) пять равных частей.

Для решения этой задачи используется метод, основанный на теореме Фалеса, который позволяет разделить отрезок на любое количество равных частей с помощью циркуля и линейки.

а) три равные части

Пусть нам дан отрезок $AB$, который необходимо разделить на три равные части.

1. Из точки $A$ проведем произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$. Угол между отрезком $AB$ и лучом $l$ должен быть острым для удобства построения.

2. Возьмем циркуль и установим на нем произвольный раствор (не слишком большой и не слишком маленький). Начиная от точки $A$, отложим на луче $l$ три одинаковых отрезка подряд. Получим точки $A_1, A_2, A_3$ такие, что $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$.

3. Соединим последнюю точку $A_3$ на луче с концом отрезка $B$. Получим отрезок $A_3B$.

4. Теперь построим прямые, проходящие через точки $A_1$ и $A_2$ и параллельные отрезку $A_3B$. Для этого можно, например, построить при вершинах $A_1$ и $A_2$ углы, равные углу $\angle AA_3B$. Эти прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно.

5. Согласно теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне. В нашем случае прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$ и $A_3B$ параллельны, и они отсекают на луче $l$ равные отрезки $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$. Следовательно, они отсекут равные отрезки и на отрезке $AB$.

Таким образом, точки $B_1$ и $B_2$ делят отрезок $AB$ на три равные части: $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.

Ответ: Искомые точки, делящие отрезок на три равные части, строятся с помощью вспомогательного луча, на котором откладываются три равных отрезка, и последующего проведения параллельных прямых.

б) пять равных частей

Деление отрезка на пять равных частей выполняется абсолютно аналогично делению на три части, только количество отрезков на вспомогательном луче будет равно пяти.

Пусть нам дан отрезок $CD$.

1. Из точки $C$ проведем произвольный луч $m$, не совпадающий с прямой $CD$.

2. С помощью циркуля отложим на луче $m$ от точки $C$ пять последовательных равных отрезков. Обозначим полученные точки $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$. Таким образом, $CC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C_5$.

3. Соединим последнюю точку $C_5$ с другим концом исходного отрезка, точкой $D$.

4. Через точки $C_1, C_2, C_3$ и $C_4$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_5D$. Эти прямые пересекут отрезок $CD$ в точках $D_1, D_2, D_3$ и $D_4$ соответственно.

5. По теореме Фалеса, так как параллельные прямые отсекают на луче $m$ пять равных отрезков, то они отсекут и на отрезке $CD$ пять равных отрезков.

В результате мы получаем, что отрезок $CD$ разделен точками $D_1, D_2, D_3, D_4$ на пять равных частей: $CD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4D$.

Ответ: Отрезок делится на пять равных частей путем построения вспомогательного луча с пятью равными отрезками и проведения через их концы прямых, параллельных прямой, соединяющей конец пятого отрезка с концом исходного отрезка.

34. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $CD$. Отрезок $AE$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$. Найдите отношение $DF : FB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle EDF$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $\angle FBA$ и $\angle FDE$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle FBA = \angle FDE$.

Рассмотрим те же параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Углы $\angle FAB$ и $\angle FED$ также являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle FAB = \angle FED$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle EDF$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:$$ {DF \over FB} = {ED \over AB} = {EF \over FA} $$

По условию задачи точка $E$ — середина стороны $CD$. Это означает, что $ED = \frac{1}{2} CD$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AB = CD$.

Подставим эти соотношения в равенство для отношений сторон:$$ {DF \over FB} = {ED \over AB} = {\frac{1}{2} CD \over CD} = {1 \over 2} $$

Таким образом, искомое отношение $DF:FB$ равно $1:2$.

Ответ: $1:2$

35. К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

Центр описанной окружности треугольника расположен ближе всего к его наибольшей стороне.

Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Центр описанной окружности, обозначим его $O$, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу описанной окружности $R$.

Расстояние от центра $O$ до любой из сторон, например, до стороны $a$, равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту сторону. Обозначим это расстояние как $d_a$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром $O$ и двумя вершинами, являющимися концами стороны $a$. Боковые стороны этого треугольника равны радиусу $R$, а основание равно $a$. Перпендикуляр $d_a$, опущенный из вершины $O$ на основание $a$, является в этом треугольнике также и медианой, поэтому он делит сторону $a$ пополам.

В получившемся прямоугольном треугольнике с катетами $d_a$ и $a/2$ и гипотенузой $R$ по теореме Пифагора выполняется равенство:

$R^2 = d_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Отсюда можно выразить квадрат расстояния до стороны $a$:

$d_a^2 = R^2 - \frac{a^2}{4}$

Следовательно, само расстояние равно:

$d_a = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Аналогичные формулы справедливы и для расстояний до сторон $b$ и $c$:

$d_b = \sqrt{R^2 - \frac{b^2}{4}}$

$d_c = \sqrt{R^2 - \frac{c^2}{4}}$

Чтобы найти, к какой стороне центр окружности расположен ближе, нужно найти наименьшее из расстояний $d_a$, $d_b$, $d_c$.

Анализируя формулу $d_x = \sqrt{R^2 - \frac{x^2}{4}}$, мы видим, что радиус $R$ является константой для данного треугольника. Значение подкоренного выражения $R^2 - \frac{x^2}{4}$ тем меньше, чем больше вычитаемое $\frac{x^2}{4}$. В свою очередь, $\frac{x^2}{4}$ тем больше, чем больше длина стороны $x$.

Таким образом, наименьшее расстояние $d_x$ соответствует наибольшей длине стороны $x$. Это означает, что центр описанной окружности всегда находится ближе к самой длинной стороне треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Ответ: Центр описанной окружности ближе всего расположен к наибольшей стороне треугольника.

36. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности треугольника, также известный как инцентр, является точкой пересечения биссектрис его углов. Чтобы определить, к какой из вершин он расположен ближе, необходимо сравнить расстояния от инцентра до каждой из вершин.

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и соответствующими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Обозначим центр вписанной окружности как $I$, а ее радиус как $r$. По определению, инцентр $I$ равноудален от всех сторон треугольника на расстояние $r$.

Рассмотрим расстояние от инцентра $I$ до вершины $A$, то есть длину отрезка $IA$. Проведем из точки $I$ перпендикуляр $ID$ к стороне $AB$. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$. Отрезок $AI$ является биссектрисой угла $A$, поэтому угол $\angle IAD = \alpha/2$. В получившемся прямоугольном треугольнике $ADI$ соотношение между катетом $ID$, гипотенузой $IA$ и углом $\angle IAD$ выражается через синус:

$sin(\angle IAD) = \frac{ID}{IA}$

Подставив известные значения, получим:

$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{IA}$

Отсюда можно выразить расстояние от инцентра до вершины $A$:

$IA = \frac{r}{sin(\frac{\alpha}{2})}$

Аналогичные формулы можно вывести для расстояний от инцентра до вершин $B$ и $C$:

$IB = \frac{r}{sin(\frac{\beta}{2})}$

$IC = \frac{r}{sin(\frac{\gamma}{2})}$

Чтобы найти, какое из расстояний ($IA$, $IB$ или $IC$) наименьшее, нам нужно сравнить знаменатели этих дробей. Поскольку радиус $r$ — это постоянная положительная величина для данного треугольника, то наименьшее расстояние будет соответствовать дроби с наибольшим знаменателем.

Нам нужно сравнить значения $sin(\frac{\alpha}{2})$, $sin(\frac{\beta}{2})$ и $sin(\frac{\gamma}{2})$. Углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ находятся в интервале от 0 до 180 градусов. Следовательно, их половины ($\frac{\alpha}{2}$, $\frac{\beta}{2}$, $\frac{\gamma}{2}$) находятся в интервале от 0 до 90 градусов. В этом интервале функция синуса является строго возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Таким образом, наибольшее значение синуса будет у половины самого большого угла треугольника. Если, например, $\alpha$ — наибольший угол треугольника ($\alpha > \beta$ и $\alpha > \gamma$), то $sin(\frac{\alpha}{2})$ будет иметь наибольшее значение, а значит, расстояние $IA$ будет наименьшим.

Следовательно, центр вписанной окружности расположен ближе всего к вершине самого большого угла треугольника.

Ответ: Центр вписанной окружности расположен ближе к той вершине треугольника, угол при которой имеет наибольшую величину.

37. Постройте треугольник. Изобразите:

а) точку пересечения медиан;

б) точку пересечения биссектрис;

в) точку пересечения высот или их продолжений.

Для решения задачи сначала построим произвольный треугольник, назовем его вершины $A$, $B$ и $C$.

а) точку пересечения медиан

1. Определение: Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

2. Построение:

• Находим середину стороны $BC$, обозначим ее $M_a$. Проводим отрезок $AM_a$. Это первая медиана.

• Находим середину стороны $AC$, обозначим ее $M_b$. Проводим отрезок $BM_b$. Это вторая медиана.

• Медианы $AM_a$ и $BM_b$ пересекаются в одной точке. Обозначим ее $O$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Все три медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс треугольника. Эта точка всегда находится внутри треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. То есть $AO:OM_a = BO:OM_b = CO:OM_c = 2:1$. Для нахождения точки пересечения достаточно построить две медианы.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид) находится в точке пересечения двух (или трех) медиан треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

б) точку пересечения биссектрис

1. Определение: Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, который делит этот угол на две равные части.

2. Построение:

• Строим биссектрису угла $A$. Это луч, выходящий из вершины $A$ и делящий угол пополам. Обозначим отрезок биссектрисы до пересечения со стороной $BC$ как $AL_a$.

• Строим биссектрису угла $B$. Обозначим ее отрезок $BL_b$.

• Биссектрисы $AL_a$ и $BL_b$ пересекаются в одной точке. Обозначим ее $I$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром. Инцентр всегда лежит внутри треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника. Для нахождения инцентра достаточно построить две биссектрисы.

Ответ: Точка пересечения биссектрис (инцентр) находится в точке пересечения двух (или трех) биссектрис углов треугольника.

в) точку пересечения высот или их продолжений

1. Определение: Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

2. Построение:

• Из вершины $A$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $BC$. Отрезок от вершины $A$ до точки пересечения $H_a$ с прямой $BC$ является высотой.

• Из вершины $B$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Отрезок от вершины $B$ до точки пересечения $H_b$ с прямой $AC$ является второй высотой.

• Прямые, на которых лежат эти высоты, пересекаются в одной точке. Обозначим ее $H$. Эта точка является искомой.

3. Свойства: Три высоты треугольника (или их продолжения) всегда пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Положение ортоцентра зависит от типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.

• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника. В этом случае высоты, опущенные из вершин острых углов, падают на продолжения сторон, и для нахождения ортоцентра необходимо продлевать высоты до их пересечения.

Ответ: Точка пересечения высот (ортоцентр) находится в точке пересечения прямых, содержащих две (или три) высоты треугольника. Высота — это перпендикуляр из вершины на противоположную сторону или ее продолжение.