Страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Простая ломаная имеет 10 вершин. Сколько у нее сторон?

1.Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Точки соединения отрезков, а также концы ломаной, называются её вершинами, а сами отрезки — её сторонами (или звеньями). В задаче указана "простая ломаная", что означает, что она не имеет самопересечений. Если не указано, что ломаная замкнутая, она считается незамкнутой.

Для любой незамкнутой ломаной существует простая связь между количеством вершин и количеством сторон. Проследим эту связь на примерах:
- Ломаная с 2 вершинами — это один отрезок, то есть у неё 1 сторона.
- Ломаная с 3 вершинами состоит из двух отрезков, соединённых в одной точке, то есть у неё 2 стороны.
- Ломаная с 4 вершинами состоит из трех отрезков, у неё 3 стороны.
Как мы видим, количество сторон всегда на единицу меньше количества вершин.

Обозначим количество вершин буквой $V$, а количество сторон — буквой $S$. Тогда общая формула для незамкнутой ломаной будет выглядеть так:

$S = V - 1$

По условию задачи, у ломаной 10 вершин ($V = 10$). Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон:

$S = 10 - 1 = 9$

Следовательно, простая ломаная с 10 вершинами имеет 9 сторон.

Ответ: 9.

2. Простая замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?

Простая замкнутая ломаная линия является многоугольником. По определению, у любого многоугольника (а следовательно, и у любой простой замкнутой ломаной) количество вершин всегда равно количеству сторон.

Рассмотрим это свойство. Каждая вершина является точкой соединения двух смежных сторон. Каждая сторона, в свою очередь, соединяет две соседние вершины. В замкнутой фигуре нет "крайних" вершин, которые принадлежали бы только одной стороне. Таким образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между сторонами и вершинами.

Если обозначить количество сторон как $N_{сторон}$, а количество вершин как $N_{вершин}$, то для любой простой замкнутой ломаной будет справедливо равенство:

$N_{вершин} = N_{сторон}$

В условии задачи сказано, что ломаная имеет 20 сторон, то есть $N_{сторон} = 20$.

Следовательно, количество вершин у этой ломаной также равно 20.

Ответ: 20.

3. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

Задача состоит в том, чтобы изобразить замкнутую ломаную из пяти звеньев (пятиугольник, который может быть невыпуклым и самопересекающимся) с заданным числом точек самопересечения. Ломаная состоит из пяти вершин $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ и пяти отрезков, соединяющих их последовательно: $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_1$.

Чтобы получить две точки самопересечения, можно расположить вершины таким образом, чтобы фигура напоминала наконечник стрелы или вогнутый пятиугольник. Примером такого расположения вершин является следующая фигура:

В этой ломаной сторона $A_2A_3$ пересекается со стороной $A_4A_5$, а сторона $A_3A_4$ пересекается со стороной $A_5A_1$. Других пересечений нет, итого ровно две точки.

Ответ: Пример ломаной с двумя точками самопересечения изображен на рисунке выше.

Для получения трех точек самопересечения необходимо более сложное взаимное расположение вершин. Одна из вершин должна быть расположена "внутри" фигуры, образованной другими вершинами. Следующая схема демонстрирует такую ломаную:

Здесь пересекаются следующие пары неcмежных сторон: $A_1A_2$ и $A_3A_4$; $A_2A_3$ и $A_5A_1$; $A_3A_4$ и $A_5A_1$. Всего получается три точки самопересечения.

Ответ: Пример ломаной с тремя точками самопересечения изображен на рисунке выше.

Максимальное число точек самопересечения для пятисторонней ломаной равно 5. Это достигается, когда каждая сторона пересекает две не смежные с ней стороны. Такая фигура известна как пентаграмма или пятиконечная звезда. Её можно получить, если расположить вершины $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ в углах правильного пятиугольника и соединить их "через одну". Однако, по условию задачи, мы должны соединять вершины последовательно ($A_1$ с $A_2$, $A_2$ с $A_3$ и т.д.). Чтобы получить 5 пересечений, нужно расположить сами вершины в форме звезды и соединить их по порядку.

В этой фигуре каждая из пяти сторон пересекает ровно две другие (не смежные ей) стороны, что в сумме дает $\frac{5 \times 2}{2} = 5$ уникальных точек пересечения.

Ответ: Пример ломаной с пятью точками самопересечения (пентаграмма) изображен на рисунке выше.

4. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник

своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

а) четырехугольник
Выпуклый четырехугольник имеет 4 вершины. Из одной произвольно выбранной вершины можно провести диагонали к тем вершинам, которые не являются соседними. Таких вершин для четырехугольника всего одна. Таким образом, из одной вершины можно провести $4-3=1$ диагональ. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника.
Ответ: на 2 треугольника.

б) пятиугольник
Выпуклый пятиугольник имеет 5 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к двум не соседним с ней вершинам. Количество диагоналей, исходящих из одной вершины, равно $5-3=2$. Эти две диагонали разделяют пятиугольник на три треугольника.
Ответ: на 3 треугольника.

в) шестиугольник
Выпуклый шестиугольник имеет 6 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к трем не соседним с ней вершинам. Количество диагоналей равно $6-3=3$. Эти три диагонали разделяют шестиугольник на четыре треугольника.
Ответ: на 4 треугольника.

г) n-угольник
Рассмотрим общий случай для выпуклого n-угольника. У него $n$ вершин. Выберем одну любую вершину. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Из выбранной вершины нельзя провести диагональ к ней самой и к двум соседним с ней вершинам. Следовательно, количество вершин, к которым можно провести диагонали, равно $n-3$. Таким образом, из одной вершины можно провести $n-3$ диагонали.
Эти $n-3$ диагонали делят n-угольник на несколько треугольников. Каждая проведенная диагональ добавляет один треугольник, а первая диагональ создает сразу два. Значит, общее число треугольников будет на единицу больше, чем число проведенных диагоналей. Количество треугольников равно $(n-3)+1 = n-2$.
Итак, выпуклый n-угольник делится на $n-2$ треугольника диагоналями, проведенными из одной его вершины.
Ответ: на $n-2$ треугольника.

5. Сколько всего диагоналей имеет:
а) четырехугольник;
б) пятиугольник;
в) шестиугольник?

Для нахождения общего количества диагоналей в многоугольнике используется общая формула. Диагональ — это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, которые не являются соседними.

В многоугольнике с $n$ вершинами из каждой вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних вершин. То есть, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то общее количество таких отрезков будет $n(n-3)$. Однако, при таком способе подсчета каждая диагональ (например, из вершины A в вершину C) будет посчитана дважды (один раз из A в C, и второй раз из C в A). Поэтому итоговое число нужно разделить на 2.

Формула для вычисления количества диагоналей $D$ в многоугольнике с $n$ сторонами выглядит так: $D = \frac{n(n-3)}{2}$

а) четырехугольник
Для четырехугольника количество вершин $n=4$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2

б) пятиугольник
Для пятиугольника количество вершин $n=5$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5

в) шестиугольник
Для шестиугольника количество вершин $n=6$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
Ответ: 9

6. Чему равны углы правильного:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) пятиугольника;

г) шестиугольника?

Для вычисления величины внутреннего угла правильного (равностороннего и равноугольного) n-угольника используется следующая формула: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $, где $n$ — это количество сторон многоугольника.

а) треугольника;
Правильный треугольник является равносторонним. У него 3 стороны, следовательно, $n=3$.
Подставляем значение в формулу:
$ \alpha = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = \frac{1 \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ $
Все углы правильного треугольника равны $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) четырехугольника;
Правильный четырехугольник — это квадрат. У него 4 стороны, следовательно, $n=4$.
Подставляем значение в формулу:
$ \alpha = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ $
Все углы квадрата прямые и равны $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) пятиугольника;
У правильного пятиугольника 5 сторон, следовательно, $n=5$.
Подставляем значение в формулу:
$ \alpha = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ $
Все углы правильного пятиугольника равны $108^\circ$.
Ответ: $108^\circ$.

г) шестиугольника?
У правильного шестиугольника 6 сторон, следовательно, $n=6$.
Подставляем значение в формулу:
$ \alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ $
Все углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$.
Ответ: $120^\circ$.

7. Сумма углов выпуклого многоугольника равна $900^\circ$. Сколько у него сторон?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S = 180^\circ \times (n - 2)$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

По условию задачи, сумма углов $S$ равна $900^\circ$. Чтобы найти количество сторон $n$, подставим известное значение в формулу и решим уравнение относительно $n$.

$900^\circ = 180^\circ \times (n - 2)$

Разделим обе части уравнения на $180^\circ$, чтобы найти значение выражения в скобках:

$n - 2 = \frac{900^\circ}{180^\circ}$

$n - 2 = 5$

Теперь найдем $n$, прибавив 2 к обеим частям уравнения:

$n = 5 + 2$

$n = 7$

Таким образом, у выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна $900^\circ$, 7 сторон.

Ответ: 7.

8. Найдите внешние углы правильного:

а) четырехугольника;

б) пятиугольника;

в) шестиугольника;

г) восьмиугольника.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. У правильного многоугольника все стороны и все углы равны, следовательно, и все внешние углы равны между собой.

Для того чтобы найти величину одного внешнего угла правильного n-угольника, нужно разделить $360^\circ$ на количество его углов (или сторон) $n$.

Формула для вычисления внешнего угла правильного n-угольника:

$\alpha_{внеш} = \frac{360^\circ}{n}$

а) четырехугольника

Правильный четырехугольник — это квадрат. У него 4 стороны, значит $n=4$.

Внешний угол равен: $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

б) пятиугольника

У правильного пятиугольника 5 сторон, значит $n=5$.

Внешний угол равен: $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$.

в) шестиугольника

У правильного шестиугольника 6 сторон, значит $n=6$.

Внешний угол равен: $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

г) восьмиугольника

У правильного восьмиугольника 8 сторон, значит $n=8$.

Внешний угол равен: $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

9. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$.

Согласно условию, углы четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Это означает, что их можно представить в виде отношения $1:2:3:4$.

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, который представляет одну часть. Тогда величины углов будут равны:

Первый угол: $1 \cdot x = x$
Второй угол: $2 \cdot x = 2x$
Третий угол: $3 \cdot x = 3x$
Четвертый угол: $4 \cdot x = 4x$

Составим уравнение, зная, что сумма всех углов равна $360^\circ$:

$x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ$

Сложим все части с $x$:

$10x = 360^\circ$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

Зная значение одной части, мы можем найти величину каждого угла:

Первый угол: $1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$
Второй угол: $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$
Третий угол: $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$
Четвертый угол: $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 108^\circ + 144^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ$.

10. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых внутренних углов.

Доказательство

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного, рассмотрев внешние углы выпуклого многоугольника.

Известно, что сумма внешних углов любого выпуклого $n$-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. Внешний угол $\beta$ при некоторой вершине и внутренний угол $\alpha$ при той же вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Острым внутренним углом называется угол $\alpha$, величина которого меньше $90^\circ$ ($\alpha < 90^\circ$). Если внутренний угол $\alpha$ является острым, то соответствующий ему внешний угол $\beta$ будет тупым:

$\beta = 180^\circ - \alpha > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, каждому острому внутреннему углу соответствует тупой внешний угол (угол, больший $90^\circ$).

Теперь предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого имеется четыре или более острых внутренних угла. Пусть их количество равно $k$, где $k \ge 4$.

Это означает, что у данного многоугольника есть по меньшей мере $k$ (то есть четыре или более) внешних углов, каждый из которых больше $90^\circ$.

Рассмотрим сумму только этих четырех внешних углов. Она будет строго больше, чем сумма четырех углов по $90^\circ$:

Сумма_частичная > $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Поскольку многоугольник является выпуклым, все его внутренние углы меньше $180^\circ$, а значит, все его внешние углы положительны. Следовательно, полная сумма всех внешних углов многоугольника будет еще больше, чем сумма этих четырех углов, то есть будет заведомо больше $360^\circ$.

Это приводит к противоречию, так как сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника должна быть в точности равна $360^\circ$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. У выпуклого многоугольника не может быть четырех или более острых внутренних углов. Это означает, что их максимальное возможное количество равно трем.

Ответ: Утверждение доказано.

11. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $25^{\circ}$ и $35^{\circ}$. Найдите углы параллелограмма.

Пусть диагональ параллелограмма образует с двумя его смежными сторонами углы, равные $25^\circ$ и $35^\circ$. Один из углов параллелограмма равен сумме этих двух углов, так как диагональ делит угол при вершине на две части. Найдем величину этого угла:

$25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$

В параллелограмме есть два свойства, которые помогут нам найти остальные углы:

1. Противоположные углы равны.

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Исходя из первого свойства, угол, противоположный найденному углу, также равен $60^\circ$.

Используя второе свойство, найдем величину двух других углов. Угол, смежный с углом в $60^\circ$, будет равен:

$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Противоположный ему угол также равен $120^\circ$.

Таким образом, в параллелограмме два острых угла по $60^\circ$ и два тупых угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

12. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

а) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

В параллелограмме есть две пары равных углов (противолежащие углы равны), а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Пусть в параллелограмме есть углы $\alpha$ и $\beta$. Тогда у него два угла равны $\alpha$ и два угла равны $\beta$, при этом выполняется свойство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим, суммой каких двух углов может быть заданное значение:
1. Сумма двух прилежащих углов: $\alpha + \beta = 180^\circ$.
2. Сумма двух противолежащих (равных) углов. Это может быть либо сумма двух острых углов ($2\alpha$), либо сумма двух тупых углов ($2\beta$). Если угол $\alpha$ — острый ($\alpha < 90^\circ$), то их сумма $2\alpha < 180^\circ$. Если угол $\beta$ — тупой ($\beta > 90^\circ$), то их сумма $2\beta > 180^\circ$.

Во всех предложенных вариантах (80°, 100°, 160°) сумма меньше $180^\circ$. Это означает, что речь идет о сумме двух противолежащих острых углов параллелограмма.

а)

Дана сумма двух углов, равная $80^\circ$. Так как $80^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 80^\circ$
$\alpha = 80^\circ / 2 = 40^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.
Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б)

Дана сумма двух углов, равная $100^\circ$. Так как $100^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 100^\circ$
$\alpha = 100^\circ / 2 = 50^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.
Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

в)

Дана сумма двух углов, равная $160^\circ$. Так как $160^\circ < 180^\circ$, это сумма двух равных противолежащих острых углов.
Найдем величину одного острого угла $\alpha$:
$2\alpha = 160^\circ$
$\alpha = 160^\circ / 2 = 80^\circ$
Теперь найдем величину смежного с ним тупого угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

13. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть $a$ и $b$ - смежные стороны параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому его периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Из условия задачи известно, что стороны относятся как $3:4$. Следовательно, мы можем обозначить длины смежных сторон как $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

Периметр параллелограмма равен 2,8 м. Подставим наши выражения для сторон в формулу периметра и составим уравнение:

$2(3x + 4x) = 2,8$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$2(7x) = 2,8$

$14x = 2,8$

$x = \frac{2,8}{14}$

$x = 0,2$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти длины сторон параллелограмма:

Одна сторона: $a = 3x = 3 \cdot 0,2 = 0,6$ м.

Вторая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 0,2 = 0,8$ м.

Таким образом, параллелограмм имеет две стороны по 0,6 м и две стороны по 0,8 м.

Ответ: стороны параллелограмма равны 0,6 м и 0,8 м.

14. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне?

Рассмотрим параллелограмм и два его угла, прилежащие к одной стороне. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Согласно одному из ключевых свойств параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать: $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Теперь проведем биссектрисы этих двух углов. Биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, биссектриса угла $\angle \alpha$ образует с прилежащей стороной угол, равный $\frac{\angle \alpha}{2}$, а биссектриса угла $\angle \beta$ образует с той же стороной угол, равный $\frac{\angle \beta}{2}$.

Эти две биссектрисы вместе с общей стороной параллелограмма образуют треугольник. Найдем третий угол этого треугольника, который является углом пересечения биссектрис. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим искомый угол между биссектрисами как $\angle \gamma$. Тогда для нашего треугольника справедливо равенство:

$\frac{\angle \alpha}{2} + \frac{\angle \beta}{2} + \angle \gamma = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобку:

$\frac{1}{2}(\angle \alpha + \angle \beta) + \angle \gamma = 180^\circ$

Мы уже знаем, что $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle \gamma = 180^\circ$

$90^\circ + \angle \gamma = 180^\circ$

Отсюда находим угол $\angle \gamma$:

$\angle \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равен $90^\circ$. Это означает, что они расположены взаимно перпендикулярно.

Ответ: Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).

15. Как расположены биссектрисы углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором, согласно условию, длины смежных сторон не равны, то есть $AB \neq BC$. Необходимо выяснить взаимное расположение биссектрис противолежащих углов, а именно, пары биссектрис углов $A$ и $C$, и пары биссектрис углов $B$ и $D$.

Для решения воспользуемся свойством центральной симметрии параллелограмма. Любой параллелограмм имеет центр симметрии — точку пересечения его диагоналей. Обозначим эту точку буквой $O$. Поворот на $180^\circ$ вокруг центра $O$ (центральная симметрия) является преобразованием, которое отображает параллелограмм на самого себя.

При таком повороте вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $C$ — в $A$. Аналогично, вершина $B$ переходит в вершину $D$, а $D$ — в $B$. Вследствие этого, угол при вершине $A$ ($\angle DAB$) отображается на угол при вершине $C$ ($\angle BCD$).

Так как при повороте угол $A$ переходит в угол $C$, то и биссектриса угла $A$ (обозначим ее $l_A$) переходит в биссектрису угла $C$ (обозначим ее $l_C$). Таким образом, центральная симметрия с центром в точке $O$ отображает прямую $l_A$ на прямую $l_C$.

Из свойств центральной симметрии следует, что если прямая при таком преобразовании отображается на другую прямую, то эти две прямые параллельны. Исключение составляет случай, когда прямая проходит через центр симметрии — в этом случае она отображается сама на себя.

Проверим, может ли биссектриса $l_A$ проходить через центр симметрии $O$. Если предположить, что $l_A$ проходит через точку $O$, то в треугольнике $ABD$ отрезок $AO$ является одновременно и биссектрисой угла $A$, и медианой (так как $O$ — середина диагонали $BD$). В треугольнике биссектриса является медианой тогда и только тогда, когда этот треугольник равнобедренный. Это означало бы, что стороны, выходящие из вершины $A$, равны: $AB = AD$. Однако по условию задачи смежные стороны параллелограмма не равны ($AB \neq AD$). Следовательно, наше предположение неверно, и биссектриса $l_A$ не проходит через центр симметрии $O$.

Поскольку прямая $l_A$ при центральной симметрии переходит в прямую $l_C$ и при этом не совпадает с ней, то эти прямые должны быть параллельны: $l_A \parallel l_C$.

Абсолютно те же рассуждения применимы и ко второй паре противолежащих углов, $B$ и $D$. При повороте на $180^\circ$ вокруг центра $O$ угол $B$ переходит в угол $D$, а значит, биссектриса $l_B$ переходит в биссектрису $l_D$. Биссектриса $l_B$ не проходит через центр $O$, так как в противном случае треугольник $ABC$ был бы равнобедренным с $AB = BC$, что противоречит условию. Следовательно, биссектрисы $l_B$ и $l_D$ также параллельны: $l_B \parallel l_D$.

Ответ: Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма (с неравными смежными сторонами) параллельны друг другу.

16. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AE = CF$. Докажите, что четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны по длине и параллельны. Таким образом, мы имеем два условия: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Рассмотрим четырехугольник $BFDE$. Его стороны $EB$ и $FD$ являются частями сторон $AB$ и $CD$ исходного параллелограмма. Так как отрезки $EB$ и $FD$ лежат на параллельных прямых ($AB$ и $CD$), то они также параллельны друг другу: $EB \parallel FD$.

Теперь определим длины этих сторон. Длина отрезка $EB$ вычисляется как разность длин отрезков $AB$ и $AE$: $EB = AB - AE$.

Аналогично, длина отрезка $FD$ вычисляется как разность длин отрезков $CD$ и $CF$: $FD = CD - CF$.

По условию задачи нам дано, что $AE = CF$. Мы также знаем, что $AB = CD$, так как это противолежащие стороны параллелограмма. Заменив в выражении для $FD$ сторону $CD$ на равную ей $AB$ и отрезок $CF$ на равный ему $AE$, получим:

$FD = CD - CF = AB - AE$.

Сравнивая выражения для $EB$ и $FD$, видим, что они равны: $EB = FD$.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $BFDE$ две противолежащие стороны, $EB$ и $FD$, равны ($EB = FD$) и параллельны ($EB \parallel FD$).

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $BFDE$ — это параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

17. Дан параллелограмм $ABCD$. $E, F, G, H$ — середины его сторон. Докажите, что четырехугольник $EFGH$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник $EFGH$ является параллелограммом, воспользуемся свойством средней линии треугольника. Проведем диагональ $AC$ в исходном параллелограмме $ABCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию, точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, мы имеем:

$EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. По условию, точки $H$ и $G$ являются серединами сторон $AD$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $HG$ является средней линией $\triangle ADC$. По тому же свойству средней линии, мы имеем:

$HG \parallel AC$ и $HG = \frac{1}{2}AC$

Сравнивая полученные результаты для отрезков $EF$ и $HG$, мы видим, что:

1. $EF \parallel AC$ и $HG \parallel AC$, из чего следует, что $EF \parallel HG$ (по свойству транзитивности параллельных прямых).

2. $EF = \frac{1}{2}AC$ и $HG = \frac{1}{2}AC$, из чего следует, что $EF = HG$.

Поскольку в четырехугольнике $EFGH$ две противоположные стороны ($EF$ и $HG$) одновременно параллельны и равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

18. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.

Для построения параллелограмма по двум сторонам и диагонали, исходящим из одной вершины, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Пусть нам даны три отрезка, задающие длины двух смежных сторон $a$ и $b$ и длину диагонали $d$.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм. Примем, что $AB = a$, $BC = b$ и диагональ $AC = d$. Диагональ $AC$ разбивает параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Стороны треугольника $\triangle ABC$ нам известны — это $AB=a$, $BC=b$ и $AC=d$. Следовательно, задача сводится к построению треугольника по трем заданным сторонам, а затем к достроению этого треугольника до параллелограмма.

Построение

1. Начнем с построения треугольника $\triangle ABC$ по трем сторонам $a$, $b$ и $d$.
а) Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
б) С помощью циркуля отмерим длину отрезка $a$ и отложим ее на прямой от точки $A$. Получим точку $B$. Таким образом, отрезок $AB$ — это первая сторона параллелограмма.
в) Измерим циркулем длину диагонали $d$. Установив острие циркуля в точку $A$, проведем дугу окружности радиусом $d$.
г) Измерим циркулем длину стороны $b$. Установив острие циркуля в точку $B$, проведем дугу окружности радиусом $b$.
д) Точка пересечения двух дуг будет третьей вершиной, назовем ее $C$. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Мы получили треугольник $\triangle ABC$.

2. Теперь найдем четвертую вершину параллелограмма — точку $D$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $CD$ должна быть равна и параллельна стороне $AB$, а сторона $AD$ — равна и параллельна стороне $BC$.
а) Из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$ ($AB$).
б) Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$ ($BC$).
в) Точка пересечения этих двух дуг (та, что находится в другой полуплоскости относительно прямой $AC$, нежели точка $B$) и будет искомой вершиной $D$.

3. Соединим отрезками точки $A$ и $D$, а также $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению мы имеем: $AB = a$ и $CD = a$, следовательно, $AB = CD$. Также по построению $BC = b$ и $AD = b$, следовательно, $BC = AD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Диагональ $AC$ равна $d$ по построению. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если возможно построить треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $d$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны выполняться три условия:
$a + b > d$
$a + d > b$
$b + d > a$
Если эти условия соблюдаются, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется (или обращается в равенство), то построить такой треугольник, а значит, и параллелограмм, невозможно.

Ответ: Искомый параллелограмм строится путем построения треугольника по трем заданным отрезкам (две стороны $a, b$ и диагональ $d$). Затем, на основе этого треугольника, достраивается вторая его половина — равный ему треугольник, имеющий общую сторону (диагональ $d$). Построение осуществимо только при условии, что длины отрезков $a, b, d$ удовлетворяют неравенству треугольника.

19. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен $50^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ делит диагонали на четыре равных отрезка.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим один из треугольников, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника, например, $\triangle AOB$, где $A$ и $B$ — соседние вершины прямоугольника. Так как отрезки диагоналей от вершины до точки пересечения равны ($AO = BO$), то треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

По условию, острый угол между диагоналями равен $50^{\circ}$. Этот угол является углом при вершине $O$ в одном из двух равнобедренных треугольников. Пусть $\angle AOB = 50^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ углы при основании $AB$ равны, то есть $\angle OAB = \angle OBA$. Найдем величину этих углов:$\angle OAB = \angle OBA = (180^{\circ} - \angle AOB) / 2$$\angle OAB = (180^{\circ} - 50^{\circ}) / 2 = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ}$

Эти углы являются углами, которые диагонали образуют с одной из сторон прямоугольника. Таким образом, один из искомых углов равен $65^{\circ}$.

Все углы в прямоугольнике прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Угол при вершине $A$ прямоугольника, $\angle DAB$, разделен диагональю $AC$ на два угла: $\angle OAB$ и $\angle DAO$. Следовательно:$\angle DAB = \angle OAB + \angle DAO = 90^{\circ}$

Мы уже нашли, что $\angle OAB = 65^{\circ}$. Теперь можем найти второй угол $\angle DAO$, который диагональ $AC$ образует со стороной $AD$:$\angle DAO = 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}$

Таким образом, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $65^{\circ}$ и $25^{\circ}$.

Ответ: $25^{\circ}$ и $65^{\circ}$.