Номер 63, страница 135 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

63. Докажите, что для тупых углов А имеют место равенства:

$tg A = -tg(180^{\circ} - A) ; ctg A = -ctg(180^{\circ} - A).$

tg A = -tg(180° - A)
Для доказательства данного равенства воспользуемся определением тангенса через синус и косинус: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
Рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $ -\text{tg}(180° - A) $.
Используем формулы приведения, которые связывают тригонометрические функции для смежных углов:
$ \sin(180° - A) = \sin A $
$ \cos(180° - A) = -\cos A $
Подставим эти соотношения в выражение для правой части:
$ -\text{tg}(180° - A) = - \frac{\sin(180° - A)}{\cos(180° - A)} = - \frac{\sin A}{-\cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} $.
Согласно определению тангенса, $ \frac{\sin A}{\cos A} = \text{tg} A $, что является левой частью исходного равенства.
Таким образом, мы доказали, что $ \text{tg} A = -\text{tg}(180° - A) $.
По условию, $ A $ — тупой угол, то есть $ 90° < A < 180° $. Для таких углов $ \sin A > 0 $ и $ \cos A < 0 $, следовательно $ \text{tg} A < 0 $. Угол $ (180° - A) $ является острым ($ 0° < 180° - A < 90° $), поэтому его тангенс положителен: $ \text{tg}(180° - A) > 0 $. Значит, выражение $ -\text{tg}(180° - A) $ отрицательно, что подтверждает верность равенства.
Ответ: Равенство доказано.

ctg A = -ctg(180° - A)
Для доказательства этого равенства воспользуемся определением котангенса: $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
Рассмотрим правую часть равенства: $ -\text{ctg}(180° - A) $.
Применим те же формулы приведения:
$ \sin(180° - A) = \sin A $
$ \cos(180° - A) = -\cos A $
Подставим их в выражение для правой части:
$ -\text{ctg}(180° - A) = - \frac{\cos(180° - A)}{\sin(180° - A)} = - \frac{-\cos A}{\sin A} = \frac{\cos A}{\sin A} $.
Согласно определению котангенса, $ \frac{\cos A}{\sin A} = \text{ctg} A $, что является левой частью исходного равенства.
Таким образом, мы доказали, что $ \text{ctg} A = -\text{ctg}(180° - A) $.
Поскольку $ A $ — тупой угол ($ 90° < A < 180° $), то $ \sin A > 0 $ и $ \cos A < 0 $, следовательно $ \text{ctg} A < 0 $. Угол $ (180° - A) $ является острым ($ 0° < 180° - A < 90° $), поэтому его котангенс положителен: $ \text{ctg}(180° - A) > 0 $. Значит, выражение $ -\text{ctg}(180° - A) $ отрицательно, что соответствует знаку левой части.
Ответ: Равенство доказано.