Страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Высота трапеции равна 12 см, площадь — 120 $см^2$. Найдите ее среднюю линию:

A. 5 см.

B. 10 см.

C. 12 см.

D. 20 см.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции $S$ вычисляется как произведение ее средней линии на высоту.

Формула площади трапеции через основания $a$ и $b$ и высоту $h$ выглядит так: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, по определению равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Если подставить выражение для средней линии в формулу площади, получим: $S = m \cdot h$.

В условии задачи даны площадь трапеции $S = 120 \text{ см}^2$ и ее высота $h = 12 \text{ см}$. Нам нужно найти среднюю линию $m$.

Выразим среднюю линию из формулы площади:

$m = \frac{S}{h}$

Теперь подставим числовые значения:

$m = \frac{120 \text{ см}^2}{12 \text{ см}} = 10 \text{ см}$

Таким образом, средняя линия трапеции равна 10 см, что соответствует варианту B.

Ответ: 10 см.

11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 15 см и 17 см, и боковая сторона составляет с одним из оснований угол $45^\circ$:

A. $8 \text{ см}^2$.

B. $16 \text{ см}^2$.

C. $32 \text{ см}^2$.

D. $127.5 \text{ см}^2$.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота трапеции.

По условию задачи нам даны основания: $a = 17$ см и $b = 15$ см.

Чтобы найти площадь, необходимо определить высоту $h$.

Рассмотрим равнобедренную трапецию. Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекут на большем основании два равных отрезка по краям и прямоугольник в центре. Длина каждого из этих отрезков равна полуразности оснований.

Найдем длину такого отрезка (назовем его $x$):

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Этот отрезок $x$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой трапеции и этим отрезком на большем основании. Боковая сторона является гипотенузой, а высота $h$ — вторым катетом этого треугольника.

По условию, угол между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Этот угол является одним из острых углов в нашем прямоугольном треугольнике.

Так как один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что данный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Следовательно, высота трапеции $h$ равна длине отрезка $x$:

$h = x = 1$ см.

Теперь, когда все величины известны, можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{17 + 15}{2} \cdot 1 = \frac{32}{2} \cdot 1 = 16$ см².

Ответ: 16 см².

12. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшие стороны равны по $12 \text{ см}$ каждая, а наибольший угол равен $135^{\circ}$:

A. $216 \text{ см}^2$.

B. $144 \text{ см}^2$.

C. $72 \text{ см}^2$.

D. $48 \text{ см}^2$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой углы при основании $AD$ и $BC$ у вершины $A$ и $B$ прямые, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

В трапеции есть четыре стороны: два основания ($BC$ и $AD$) и две боковые стороны ($AB$ и $CD$). В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон ($AB$) перпендикулярна основаниям и является высотой. Наклонная боковая сторона ($CD$) всегда длиннее высоты ($AB$). Также большее основание ($AD$) по определению длиннее меньшего ($BC$). Следовательно, две меньшие стороны этой трапеции — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$.

По условию задачи, их длины равны 12 см:

Высота $h = AB = 12$ см.

Меньшее основание $b_1 = BC = 12$ см.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы трапеции: $\angle A=90^\circ$, $\angle B=90^\circ$, $\angle C$ и $\angle D$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $CD$, равна $180^\circ$, так как $BC \parallel AD$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Наибольший угол в трапеции — это тупой угол, в данном случае $\angle C$. По условию, $\angle C = 135^\circ$.

Тогда можем найти четвертый угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Для вычисления площади трапеции нам нужно найти длину большего основания $b_2 = AD$. Для этого проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

Полученная фигура $ABCH$ является прямоугольником, поскольку все ее углы прямые. Следовательно, противоположные стороны равны:

$CH = AB = 12$ см.

$AH = BC = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем длину катета $CH = 12$ см и величину угла $\angle D = 45^\circ$. Так как треугольник прямоугольный, то другой острый угол $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, а значит, его катеты равны: $HD = CH = 12$ см.

Теперь мы можем найти полную длину большего основания $AD$:

$b_2 = AD = AH + HD = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{12 + 24}{2} \cdot 12 = \frac{36}{2} \cdot 12 = 18 \cdot 12 = 216$ см².

Ответ: 216 см².

13. Площадь трапеции равна $60 \text{ см}^2$, а ее высота равна $2 \text{ см}$. Найдите основания трапеции, если они относятся как $5:7$:
A. 25 см и 35 см.
B. 30 см и 42 см.
C. 10 см и 14 см.
D. 5 см и 25 см.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади трапеции:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$

где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

Площадь $S = 60$ см².

Высота $h = 2$ см.

Отношение оснований $a : b = 5 : 7$.

Для того чтобы найти длины оснований, введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда основания трапеции можно выразить следующим образом:

$a = 5x$

$b = 7x$

Теперь подставим все известные значения и выражения в формулу площади трапеции:

$60 = \frac{5x + 7x}{2} \cdot 2$

Упростим полученное уравнение. Мы можем сократить множитель 2 в числителе и знаменателе дроби:

$60 = 5x + 7x$

Далее сложим слагаемые, содержащие $x$:

$60 = 12x$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 12:

$x = \frac{60}{12}$

$x = 5$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем вычислить длины оснований трапеции:

Меньшее основание: $a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Большее основание: $b = 7x = 7 \cdot 5 = 35$ см.

Проведем проверку. Найденные основания 25 см и 35 см относятся как $25:35$, что при сокращении на 5 дает $5:7$. Условие соблюдено. Подставим найденные значения в формулу площади:

$S = \frac{25 + 35}{2} \cdot 2 = \frac{60}{2} \cdot 2 = 60$ см².

Площадь совпадает с заданной в условии. Следовательно, основания найдены верно. Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A. 25 см и 35 см.

14. Две стороны треугольника равны 8 см и 6 см. Высота, проведенная к первой стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную ко второй стороне треугольника:
A. 2 см. B. 3 см. C. 4 см. D. 6 см.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон треугольника, а $h_a$ и $h_b$ — длины высот, проведенных к этим сторонам соответственно.Согласно условию задачи, имеем: $a = 8$ см, $b = 6$ см, и высота, проведенная к первой стороне, $h_a = 3$ см. Необходимо найти высоту, проведенную ко второй стороне, $h_b$.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.Площадь одного и того же треугольника можно выразить двумя способами, используя известные стороны и соответствующие им высоты:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
$S = \frac{1}{2} b \cdot h_b$

Поскольку речь идет об одном и том же треугольнике, его площадь не меняется. Следовательно, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Теперь подставим известные значения в полученное равенство:
$8 \cdot 3 = 6 \cdot h_b$
$24 = 6 \cdot h_b$

Чтобы найти $h_b$, разделим обе части уравнения на 6:
$h_b = \frac{24}{6}$
$h_b = 4$

Следовательно, высота, проведенная ко второй стороне треугольника, равна 4 см.
Ответ: 4 см.

15. Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 5 см, а один из катетов равен 4 см:

A. 10 $cm^2$. B. 5 $cm^2$. C. 12 $cm^2$. D. 6 $cm^2$.

Для того чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать длины его двух катетов. Площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – это катеты.

По условию задачи нам даны длина гипотенузы $c = 5$ см и длина одного из катетов, пусть это будет катет $a = 4$ см. Чтобы найти площадь, нам нужно сначала вычислить длину второго катета $b$.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 + b^2 = 5^2$

$16 + b^2 = 25$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 25 - 16$

$b^2 = 9$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину катета $b$ (длина стороны может быть только положительным числом):

$b = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь у нас есть длины обоих катетов: $a = 4$ см и $b = 3$ см. Мы можем рассчитать площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$ см².

Ответ: 6 см².

16. Найдите площадь прямоугольного равнобедренного треугольника по его гипотенузе c:

A. $\frac{c^2}{2}$.

B. $\frac{c^2}{4}$.

C. $2c^2$.

D. $\sqrt{2} c^2$.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник. В таком треугольнике катеты (стороны, образующие прямой угол) равны между собой. Обозначим длину каждого катета буквой a. Гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла) по условию равна c.

Для связи между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + a^2 = c^2$

Упростим левую часть уравнения:
$2a^2 = c^2$

Площадь прямоугольного треугольника (S) вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Из уравнения $2a^2 = c^2$ выразим $a^2$:
$a^2 = \frac{c^2}{2}$

Теперь подставим это выражение для $a^2$ в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{c^2}{2}\right) = \frac{c^2}{4}$

Следовательно, площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой c равна $\frac{c^2}{4}$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: B. $\frac{c^2}{4}$

17. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 1:

A. $2\sqrt{3}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

D. $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

Для нахождения площади равностороннего треугольника существует несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование готовой формулы

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию задачи, длина стороны треугольника $a = 1$. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Способ 2: Через основание и высоту

Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$.

В равностороннем треугольнике возьмем в качестве основания $b$ одну из сторон, $b = a = 1$.

Высота $h$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$. Сама высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковая сторона $a=1$, а второй катет — это половина основания $\frac{1}{2}$.

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора ($c^2 = x^2 + y^2$):

$1^2 = h^2 + (\frac{1}{2})^2$

$1 = h^2 + \frac{1}{4}$

$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная основание и высоту, найдем площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученное значение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту C.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

18. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 6 см, а боковая сторона равна 10 см:

A. $3\sqrt{91}$ см$^2$.

B. 27 см$^2$.

C. 16 см$^2$.

D. 30 см$^2$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — это основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

По условию задачи, основание $a = 6$ см, а боковая сторона $b = 10$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка будет равна половине основания:

$\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Эта высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона является гипотенузой ($b=10$ см), а половина основания ($3$ см) и высота ($h$) — катетами.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$:

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$
$h^2 + 3^2 = 10^2$
$h^2 + 9 = 100$
$h^2 = 100 - 9$
$h^2 = 91$
$h = \sqrt{91}$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{91} = 3\sqrt{91}$ см².

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: $3\sqrt{91}$ см².

19. Стороны треугольника равны 10 см и 16 см, угол между ними равен 60$.^\circ$. Найдите площадь треугольника:

A. 40 см$^2$.

B. 40$\sqrt{3}$ см$^2$.

C. 80 см$^2$.

D. 40$\sqrt{2}$ см$^2$.

Для нахождения площади треугольника, зная две его стороны и угол между ними, используется формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

где $a$ и $b$ – длины сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между этими сторонами.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

Сторона $a = 10$ см.

Сторона $b = 16$ см.

Угол между ними $\gamma = 60^\circ$.

Значение синуса угла $60^\circ$ является известной величиной: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим все известные значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin(60^\circ)$

Теперь подставим значение синуса и выполним расчет:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 5 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = 40\sqrt{3}$

Таким образом, площадь треугольника составляет $40\sqrt{3}$ см². Этот результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: $40\sqrt{3}$ см².

20. Найдите наибольшую возможную площадь треугольника, две стороны которого равны 10 см и 20 см:

A. 40 $\text{см}^2$. B. 100 $\text{см}^2$. C. 200 $\text{см}^2$. D. 400 $\text{см}^2$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$

где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи, у нас есть две стороны: $a = 10$ см и $b = 20$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 \cdot \sin(\alpha)$

$S = 100 \cdot \sin(\alpha)$

Чтобы найти наибольшую возможную площадь, нам нужно максимизировать значение этого выражения. Величина площади зависит только от синуса угла $\alpha$.

Максимальное значение функции синуса равно 1. Это значение достигается, когда угол $\alpha$ равен 90°.

$\sin(\alpha)_{max} = 1$ при $\alpha = 90°$

Следовательно, наибольшая возможная площадь треугольника будет:

$S_{max} = 100 \cdot 1 = 100$ см².

Это означает, что треугольник с максимальной площадью при заданных сторонах является прямоугольным, где эти стороны — катеты.

Среди предложенных вариантов правильным является 100 см².

Ответ: B. 100 см².