Номер 17, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 1:

A. $2\sqrt{3}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

D. $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

Для нахождения площади равностороннего треугольника существует несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование готовой формулы

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию задачи, длина стороны треугольника $a = 1$. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Способ 2: Через основание и высоту

Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$.

В равностороннем треугольнике возьмем в качестве основания $b$ одну из сторон, $b = a = 1$.

Высота $h$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$. Сама высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это боковая сторона $a=1$, а второй катет — это половина основания $\frac{1}{2}$.

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора ($c^2 = x^2 + y^2$):

$1^2 = h^2 + (\frac{1}{2})^2$

$1 = h^2 + \frac{1}{4}$

$h^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная основание и высоту, найдем площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученное значение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту C.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$