Номер 12, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой меньшие стороны равны по $12 \text{ см}$ каждая, а наибольший угол равен $135^{\circ}$:

A. $216 \text{ см}^2$.

B. $144 \text{ см}^2$.

C. $72 \text{ см}^2$.

D. $48 \text{ см}^2$.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой углы при основании $AD$ и $BC$ у вершины $A$ и $B$ прямые, то есть $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

В трапеции есть четыре стороны: два основания ($BC$ и $AD$) и две боковые стороны ($AB$ и $CD$). В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон ($AB$) перпендикулярна основаниям и является высотой. Наклонная боковая сторона ($CD$) всегда длиннее высоты ($AB$). Также большее основание ($AD$) по определению длиннее меньшего ($BC$). Следовательно, две меньшие стороны этой трапеции — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$.

По условию задачи, их длины равны 12 см:

Высота $h = AB = 12$ см.

Меньшее основание $b_1 = BC = 12$ см.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы трапеции: $\angle A=90^\circ$, $\angle B=90^\circ$, $\angle C$ и $\angle D$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $CD$, равна $180^\circ$, так как $BC \parallel AD$. Таким образом, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Наибольший угол в трапеции — это тупой угол, в данном случае $\angle C$. По условию, $\angle C = 135^\circ$.

Тогда можем найти четвертый угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Для вычисления площади трапеции нам нужно найти длину большего основания $b_2 = AD$. Для этого проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

Полученная фигура $ABCH$ является прямоугольником, поскольку все ее углы прямые. Следовательно, противоположные стороны равны:

$CH = AB = 12$ см.

$AH = BC = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем длину катета $CH = 12$ см и величину угла $\angle D = 45^\circ$. Так как треугольник прямоугольный, то другой острый угол $\angle HCD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, а значит, его катеты равны: $HD = CH = 12$ см.

Теперь мы можем найти полную длину большего основания $AD$:

$b_2 = AD = AH + HD = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{12 + 24}{2} \cdot 12 = \frac{36}{2} \cdot 12 = 18 \cdot 12 = 216$ см².

Ответ: 216 см².