Номер 11, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 15 см и 17 см, и боковая сторона составляет с одним из оснований угол $45^\circ$:

A. $8 \text{ см}^2$.

B. $16 \text{ см}^2$.

C. $32 \text{ см}^2$.

D. $127.5 \text{ см}^2$.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота трапеции.

По условию задачи нам даны основания: $a = 17$ см и $b = 15$ см.

Чтобы найти площадь, необходимо определить высоту $h$.

Рассмотрим равнобедренную трапецию. Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекут на большем основании два равных отрезка по краям и прямоугольник в центре. Длина каждого из этих отрезков равна полуразности оснований.

Найдем длину такого отрезка (назовем его $x$):

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Этот отрезок $x$ является одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой трапеции и этим отрезком на большем основании. Боковая сторона является гипотенузой, а высота $h$ — вторым катетом этого треугольника.

По условию, угол между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Этот угол является одним из острых углов в нашем прямоугольном треугольнике.

Так как один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что данный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Следовательно, высота трапеции $h$ равна длине отрезка $x$:

$h = x = 1$ см.

Теперь, когда все величины известны, можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{17 + 15}{2} \cdot 1 = \frac{32}{2} \cdot 1 = 16$ см².

Ответ: 16 см².