Страница 113 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Греческий крест (рис. 24.21) разрежьте на несколько частей, из которых можно сложить квадрат.

Рис. 24.21

Для решения задачи сначала определим площадь исходной фигуры, чтобы найти сторону искомого квадрата. Фигура на рисунке, названная «греческим крестом», расположена на сетке. Подсчитаем количество единичных квадратов, из которых она состоит.

Фигура состоит из центрального квадрата размером $3 \times 3$ единичных квадрата и четырех примыкающих к нему по сторонам единичных квадратов размером $1 \times 1$.

Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = 3 \times 3 = 9$ единичных квадратов.

Площадь четырех «лучей»: $S_{лучи} = 4 \times (1 \times 1) = 4$ единичных квадрата.

Общая площадь фигуры: $S = S_{центр} + S_{лучи} = 9 + 4 = 13$ единичных квадратов.

Следовательно, квадрат, который можно сложить из частей креста, должен иметь площадь 13 единичных квадратов. Длина стороны такого квадрата будет $a = \sqrt{13}$ единиц.

Чтобы найти линии разрезов, нужно найти на сетке отрезки длиной $\sqrt{13}$. Длина отрезка на сетке вычисляется по теореме Пифагора. Нам нужно найти два целых числа, сумма квадратов которых равна 13. Таким числами являются 2 и 3, так как $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. Это означает, что разрезы будут представлять собой диагонали прямоугольников размером $2 \times 3$ единицы.

Один из способов разрезать крест основан на принципе наложения искомого квадрата на исходную фигуру. Разрезы будут представлять собой стороны этого наложенного квадрата.

Введем систему координат, приняв левый нижний угол сетки 5x5 за точку (0,0). Тогда крест занимает определенные клетки на этой сетке. Четыре «луча» креста — это квадраты с углами в точках (2,4)-(3,5) (верхний), (4,2)-(5,3) (правый), (2,0)-(3,1) (нижний) и (0,2)-(1,3) (левый). Центральный квадрат 3x3 занимает область от (1,1) до (4,4).

Разрезы следует провести следующим образом, соединяя определенные вершины на границе креста:

1. Соединить точку (3,5) (верхний правый угол верхнего луча) с точкой (5,2) (нижний правый угол правого луча).
2. Соединить точку (5,2) с точкой (2,0) (нижний левый угол нижнего луча).
3. Соединить точку (2,0) с точкой (0,3) (верхний левый угол левого луча).
4. Соединить точку (0,3) с точкой (3,5).

Эти четыре разреза образуют квадрат со стороной $\sqrt{(5-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.

В результате этих четырех разрезов исходный крест делится на 5 частей:

• Одна центральная часть (восьмиугольной формы), находящаяся внутри начерченного нами квадрата.
• Четыре угловые части, отсекаемые от лучей креста.

Для того чтобы сложить квадрат, нужно переместить четыре угловые части. Каждая из этих частей перемещается (путем параллельного переноса) в пустые угловые области внутри контура разрезов. Таким образом, все 5 частей полностью заполняют квадрат со стороной $\sqrt{13}$.

Ответ: Крест нужно разрезать на 5 частей. Для этого на исходной фигуре (на сетке 5x5 с началом координат в левом нижнем углу) проводятся четыре отрезка, соединяющие следующие точки на его контуре: (3,5) с (5,2), (5,2) с (2,0), (2,0) с (0,3) и (0,3) с (3,5). Полученные 5 частей (одна центральная и четыре угловые) можно сложить в квадрат со стороной $\sqrt{13}$.

21. Разрежьте прямоугольник, изображенный на рисунке 24.22, на две равные части так, чтобы в каждой из них была звездочка.

Рис. 24.22

Для решения задачи необходимо разрезать прямоугольник, изображенный на рисунке, на две равные части так, чтобы в каждой из них находилась одна звездочка.

Сначала проанализируем исходные данные. Прямоугольник состоит из клеток и имеет размеры 4 клетки в ширину и 2 клетки в высоту. Его общая площадь составляет $S = 4 \times 2 = 8$ клеток. Чтобы разделить его на две равные части, каждая часть должна иметь площадь, равную половине общей площади, то есть $8 / 2 = 4$ клетки.

Звездочки расположены в верхней строке прямоугольника, во второй и третьей клетках (если считать слева направо). Линия разреза должна проходить между этими двумя звездочками, чтобы они оказались в разных частях.

Самый простой способ разделить прямоугольник на две равные части, разделяя при этом звездочки — это провести вертикальный разрез ровно посередине фигуры. Такой разрез пройдет по границе между вторым и третьим столбцами клеток.

В результате этого разреза мы получим две фигуры:

1. Левая часть: квадрат, состоящий из 4 клеток (2 в ширину и 2 в высоту). В его верхней правой клетке находится первая звездочка.

2. Правая часть: квадрат, состоящий из 4 клеток (2 в ширину и 2 в высоту). В его верхней левой клетке находится вторая звездочка.

Обе полученные части являются квадратами 2х2, следовательно, они равны (конгруэнтны) как по площади, так и по форме. Каждая часть содержит ровно одну звездочку. Таким образом, все условия задачи выполнены.

На рисунке ниже показана линия разреза.

Ответ: Прямоугольник нужно разрезать вертикальной линией пополам. В результате получатся два одинаковых квадрата размером 2х2 клетки, в каждом из которых будет по одной звездочке.

22. Разрежьте прямоугольник, изображенный на рисунке 24.23, на две равные части так, чтобы в каждой из них была звездочка.

Рис. 24.23

Для решения задачи необходимо разрезать прямоугольник размером $6 \times 4$ клетки на две равные части. Общая площадь прямоугольника составляет $6 \times 4 = 24$ клетки, следовательно, каждая из двух равных частей должна иметь площадь $12$ клеток.

Ключевым условием является то, что в каждой части должна оказаться одна звездочка. Звездочки расположены во второй строке сверху, в 3-м и 4-м столбцах. Чтобы разделить их, линия разреза должна пройти между этими двумя столбцами.

Наиболее простое решение, удовлетворяющее всем условиям, — это провести прямую вертикальную линию точно по центру прямоугольника. Такая линия будет проходить между 3-м и 4-м столбцами и делить фигуру на две абсолютно одинаковые (конгруэнтные) части.

В результате такого разреза получаются два прямоугольника размером $3 \times 4$ клетки. Левый прямоугольник будет содержать звездочку, расположенную в 3-м столбце, а правый прямоугольник — звездочку из 4-го столбца. Таким образом, обе части равны по форме и площади, и в каждой из них находится по одной звездочке.

Наглядное решение представлено на рисунке ниже, где синяя линия показывает место разреза.

Ответ: Прямоугольник необходимо разрезать по вертикальной линии, проходящей ровно посередине (между третьим и четвертым столбцами). В результате получатся два равных прямоугольника размером $3 \times 4$ клетки, в каждом из которых будет по одной звездочке.

23. Из квадрата $8 \cdot 8$ вырезали два угловых квадрата $1 \cdot 1$ (рис. 24.24). Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из двух квадратных клеток.

Рис. 24.24

Для доказательства воспользуемся методом раскраски, известным как раскраска в стиле шахматной доски.
Исходный квадрат имеет размер $8 \times 8$, то есть содержит $8 \times 8 = 64$ клетки. Раскрасим все клетки этого квадрата в два цвета (условно, в белый и черный) так, чтобы соседние по стороне клетки имели разный цвет. В таком случае, поскольку общее число клеток четное, количество белых и черных клеток будет одинаковым: $64 / 2 = 32$ белых и $32$ черных.
Из квадрата вырезали два угловых квадрата размером $1 \times 1$. Важно отметить, какие именно углы удалены. На рисунке 24.24 показано, что удалены два противоположных по диагонали угла. В шахматной раскраске клетки, находящиеся в противоположных углах квадрата $8 \times 8$, всегда окрашены в один и тот же цвет. Например, если левая верхняя клетка (a8) белая, то и правая нижняя (h1) тоже будет белой. Аналогично, если левая нижняя (a1) черная, то и правая верхняя (h8) тоже черная.
Следовательно, из квадрата были удалены две клетки одного и того же цвета.
Допустим, что удалили две белые клетки. Тогда в оставшейся фигуре будет $32 - 2 = 30$ белых клеток и 32 черные клетки. Если бы удалили две черные, то, соответственно, осталось бы 32 белые и 30 черных клеток. В любом случае, итоговая фигура площадью $64 - 2 = 62$ клетки будет содержать неравное количество клеток двух цветов (30 одного цвета и 32 другого).
Теперь рассмотрим элемент, которым нужно разрезать фигуру — прямоугольник из двух квадратных клеток, или домино размером $1 \times 2$. Какое бы положение (горизонтальное или вертикальное) ни занимало домино на раскрашенной доске, оно всегда будет покрывать ровно одну белую и одну черную клетку.
Это означает, что любое количество домино, полностью покрывающее некоторую область, покроет в этой области равное число белых и черных клеток.
Поскольку в нашей фигуре число белых и черных клеток не равно, ее невозможно разрезать (покрыть без остатка и наложений) на прямоугольники размером $1 \times 2$.

Ответ: Доказательство основано на методе шахматной раскраски. В квадрате $8 \times 8$ имеется 32 белых и 32 черных клетки. При вырезании двух противоположных угловых клеток, которые всегда одного цвета, в оставшейся фигуре будет, например, 30 клеток одного цвета и 32 другого. Каждый прямоугольник $1 \times 2$ (домино) всегда покрывает одну белую и одну черную клетку. Следовательно, любую фигуру, которую можно разрезать на такие домино, должна состоять из равного числа белых и черных клеток. Так как в нашей фигуре это условие не выполняется, разрезать ее на прямоугольники $1 \times 2$ нельзя.