Страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Докажите, что если через вершины выпуклого четырехугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь четырехугольника, образованного этими прямыми, в два раза больше площади данного четырехугольника (рис. 23.7).

Рис. 23.7

Доказательство:

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырехугольник. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырех треугольников, на которые он разбивается диагоналями:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$

По условию задачи, через вершины $A, B, C, D$ проведены прямые, параллельные диагоналям, которые образуют новый четырехугольник $EFGH$.

Рассмотрим четырехугольник $AEBO$. По построению, прямая $HE$ проходит через точку $A$ и параллельна диагонали $BD$. Следовательно, $AE \parallel BO$. Прямая $EF$ проходит через точку $B$ и параллельна диагонали $AC$. Следовательно, $BE \parallel AO$. Поскольку у четырехугольника $AEBO$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Диагональ $AB$ делит параллелограмм $AEBO$ на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ABE$ и $\triangle ABO$. Таким образом, их площади равны:

$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABO}$

Аналогично рассмотрим остальные части фигуры:

• Четырехугольник $BCFO$: $BF \parallel CO$ и $CF \parallel BO$. Следовательно, $BCFO$ — параллелограмм. Его диагональ $BC$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle BCF} = S_{\triangle BCO}$.
• Четырехугольник $CDGO$: $CG \parallel DO$ и $DG \parallel CO$. Следовательно, $CDGO$ — параллелограмм. Его диагональ $CD$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle CDG} = S_{\triangle CDO}$.
• Четырехугольник $DAHO$: $DH \parallel AO$ и $AH \parallel DO$. Следовательно, $DAHO$ — параллелограмм. Его диагональ $DA$ делит его на два равновеликих треугольника, поэтому $S_{\triangle DAH} = S_{\triangle DAO}$.

Площадь большого четырехугольника $EFGH$ состоит из площади центрального четырехугольника $ABCD$ и площадей четырех треугольников по его сторонам: $S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{\triangle ABE} + S_{\triangle BCF} + S_{\triangle CDG} + S_{\triangle DAH}$.

Заменим площади внешних треугольников на равные им площади внутренних треугольников:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$

Сумма площадей $S_{\triangle ABO} + S_{\triangle BCO} + S_{\triangle CDO} + S_{\triangle DAO}$ равна площади четырехугольника $ABCD$. Поэтому мы можем переписать формулу следующим образом:

$S_{EFGH} = S_{ABCD} + S_{ABCD}$

Отсюда следует, что:

$S_{EFGH} = 2 \cdot S_{ABCD}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь четырехугольника, образованного прямыми, которые проходят через вершины исходного выпуклого четырехугольника и параллельны его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.

9. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон соответственно $BC$ и $AD$ (рис. 23.8). Докажите, что площадь четырехугольника $AECF$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$.

Рис. 23.8

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством медианы треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих).

1. Проведем диагональ $AC$ в четырехугольнике $ABCD$. Она разбивает его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, точка $E$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AE$ является медианой треугольника $ABC$. По свойству медианы, она делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть $S_{\triangle ABE} = S_{\triangle AEC}$. Отсюда следует, что площадь треугольника $AEC$ составляет половину площади треугольника $ABC$: $S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. По условию, точка $F$ — середина стороны $AD$. Следовательно, отрезок $CF$ является медианой треугольника $ADC$. Аналогично предыдущему пункту, медиана $CF$ делит треугольник $ADC$ на два равновеликих треугольника: $S_{\triangle AFC} = S_{\triangle DFC}$. Таким образом, площадь треугольника $AFC$ составляет половину площади треугольника $ADC$: $S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ADC}$.

4. Площадь четырехугольника $AECF$ состоит из суммы площадей треугольников $AEC$ и $AFC$, так как они не пересекаются и их объединение образует четырехугольник $AECF$: $S_{AECF} = S_{\triangle AEC} + S_{\triangle AFC}$.

5. Подставим в это равенство выражения для площадей, полученные в пунктах 2 и 3: $S_{AECF} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{2} S_{\triangle ADC}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $S_{AECF} = \frac{1}{2} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC})$.

6. Как мы установили в пункте 1, сумма $S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$ равна площади исходного четырехугольника $S_{ABCD}$. Подставим это в наше выражение: $S_{AECF} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Таким образом, доказано, что площадь четырехугольника $AECF$ равна половине площади четырехугольника $ABCD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10. Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разрезаны на одинаковое число попарно равных фигур. Приведите примеры равносоставленных фигур. Что можно сказать о площадях равносоставленных фигур?

Приведите примеры равносоставленных фигур.

Равносоставленными называются фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число попарно равных частей. Классическим примером таких фигур являются параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основанием и высотой.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем из вершины B высоту BE на основание AD. В результате параллелограмм окажется разрезан на две части: прямоугольный треугольник ABE и трапецию EBCD. Теперь, если переместить треугольник ABE к другой стороне параллелограмма так, чтобы сторона AB совпала со стороной DC, получится прямоугольник EBCF.

Таким образом, и исходный параллелограмм ABCD, и полученный прямоугольник EBCF составлены из двух попарно равных частей: трапеции EBCD и равных ей прямоугольных треугольников (ABE и DCF). Это доказывает, что они равносоставленны.

Другой пример — любой треугольник равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Ответ: Примером равносоставленных фигур являются параллелограмм и прямоугольник с равными основаниями и высотами.

Что можно сказать о площадях равносоставленных фигур?

Если две фигуры, назовем их $F_1$ и $F_2$, являются равносоставленными, то их можно разбить на одинаковое количество попарно равных (конгруэнтных) частей. Пусть фигура $F_1$ состоит из частей $P_1, P_2, \dots, P_n$, а фигура $F_2$ — из частей $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$, причем для любого $i$ часть $P_i$ равна части $Q_i$.

Одно из фундаментальных свойств площади гласит, что равные фигуры имеют равные площади. Следовательно, площадь каждой части $P_i$ равна площади соответствующей ей части $Q_i$. Обозначим площадь как $S$, тогда $S(P_i) = S(Q_i)$ для всех $i$ от 1 до $n$.

Площадь целой фигуры равна сумме площадей ее составляющих частей. Таким образом, мы можем записать:

Площадь фигуры $F_1$: $S(F_1) = S(P_1) + S(P_2) + \dots + S(P_n) = \sum_{i=1}^{n} S(P_i)$

Площадь фигуры $F_2$: $S(F_2) = S(Q_1) + S(Q_2) + \dots + S(Q_n) = \sum_{i=1}^{n} S(Q_i)$

Так как каждое слагаемое в первой сумме равно соответствующему слагаемому во второй сумме ($S(P_i) = S(Q_i)$), то и сами суммы равны. Отсюда следует, что $S(F_1) = S(F_2)$.

Этот вывод является основой теоремы Бойяи-Гервина, которая утверждает, что любые два многоугольника равной площади являются равносоставленными.

Ответ: Площади равносоставленных фигур равны.