Страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна квадрату ее высоты.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом, то есть $\angle AOD = 90^\circ$. Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Тогда высота трапеции $h = MN$.В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники, образованные диагоналями и основаниями, являются равнобедренными. Таким образом, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные.Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются еще и прямоугольными. В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ отрезок $OM$ является высотой, проведенной к гипотенузе $BC$, а значит и медианой. Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно, $OM = \frac{1}{2}BC$.Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $ON$ к гипотенузе $AD$ равна ее половине: $ON = \frac{1}{2}AD$.Высота всей трапеции $h$ равна сумме высот этих треугольников: $h = MN = OM + ON$.Подставив найденные значения, получаем: $h = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD = \frac{BC + AD}{2}$.Мы видим, что высота трапеции равна ее средней линии.Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания.Для нашей трапеции формула имеет вид: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.Так как мы установили, что $\frac{AD + BC}{2} = h$, то, подставив это в формулу площади, получим: $S_{ABCD} = h \cdot h = h^2$.Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

18. Докажите, что в трапеции ABCD $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$ (рис. 22.9).

Рис. 22.9

По условию, в трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB$ и $CD$ разделены на три равные части точками $K, L$ и $M, N$ соответственно ($BK = KL = LA$ и $CM = MN = ND$). Прямые $KM$ и $LN$ параллельны основаниям $BC$ и $AD$. В результате трапеция $ABCD$ разделена на три меньшие трапеции: $BCMK$ (с площадью $S_1$), $KMNL$ (с площадью $S_2$) и $LNDA$ (с площадью $S_3$).

Так как отрезки, делящие боковые стороны, равны, то высоты этих трех малых трапеций также равны. Обозначим эту высоту как $h$.

Пусть длины параллельных отрезков равны $BC = l_0$, $KM = l_1$, $LN = l_2$ и $AD = l_3$. Покажем, что эти длины образуют арифметическую прогрессию.

Отрезок $LN$ является средней линией трапеции $KMDA$. Следовательно, по свойству средней линии: $l_2 = \frac{l_1 + l_3}{2}$, откуда $2l_2 = l_1 + l_3$. Это можно переписать как $l_2 - l_1 = l_3 - l_2$.

Аналогично, отрезок $KM$ является средней линией трапеции $BCNL$. Следовательно: $l_1 = \frac{l_0 + l_2}{2}$, откуда $2l_1 = l_0 + l_2$. Это можно переписать как $l_1 - l_0 = l_2 - l_1$.

Таким образом, мы получили $l_1 - l_0 = l_2 - l_1 = l_3 - l_2$. Это означает, что длины $l_0, l_1, l_2, l_3$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для такой прогрессии выполняется свойство: сумма крайних членов равна сумме средних, то есть $l_0 + l_3 = l_1 + l_2$.

Теперь выразим площади $S_1, S_2, S_3$ через введенные обозначения, используя формулу площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$: $S_1 = \frac{l_0 + l_1}{2} \cdot h$ $S_2 = \frac{l_1 + l_2}{2} \cdot h$ $S_3 = \frac{l_2 + l_3}{2} \cdot h$

Нам необходимо доказать, что $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$. Давайте вычислим правую часть этого равенства: $\frac{S_1 + S_3}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{l_0 + l_1}{2} \cdot h + \frac{l_2 + l_3}{2} \cdot h \right) = \frac{h}{4} (l_0 + l_1 + l_2 + l_3)$

Используем ранее доказанное свойство $l_0 + l_3 = l_1 + l_2$. Подставим $l_0 + l_3$ в полученное выражение: $\frac{S_1 + S_3}{2} = \frac{h}{4} ((l_1 + l_2) + (l_1 + l_2)) = \frac{h}{4} \cdot 2(l_1 + l_2) = \frac{h(l_1 + l_2)}{2}$

Полученное выражение в точности совпадает с выражением для площади $S_2$: $S_2 = \frac{l_1 + l_2}{2} \cdot h$

Следовательно, мы показали, что $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

19. Укажите какой-нибудь способ нахождения площади произвольного многоугольника.

Существует несколько способов найти площадь произвольного многоугольника. Один из наиболее общих и интуитивно понятных — это метод триангуляции. Он применим к любому простому многоугольнику (без самопересечений), как выпуклому, так и невыпуклому.

Метод состоит из следующих шагов:

1. Разбиение на треугольники. Исходный многоугольник нужно разделить на несколько треугольников, которые не пересекаются друг с другом, а их объединение полностью покрывает многоугольник. Для любого n-угольника это можно сделать, проведя $n-3$ диагонали из одной вершины ко всем остальным (кроме двух соседних). В результате получится $n-2$ треугольника.

2. Вычисление площади каждого треугольника. После разбиения необходимо найти площадь каждого из полученных треугольников. Для этого можно использовать любую подходящую формулу, в зависимости от имеющихся данных:
• по длине основания $a$ и проведенной к ней высоте $h$: $S = \frac{1}{2}ah$;
• по двум сторонам $a$, $b$ и углу $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$;
• по трем сторонам $a, b, c$ (используя формулу Герона): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

3. Суммирование площадей. Общая площадь многоугольника является суммой площадей всех треугольников, на которые он был разбит. Если $S_1, S_2, \dots, S_{n-2}$ — это площади треугольников, то площадь многоугольника $S_{многоуг.}$ находится как: $S_{многоуг.} = S_1 + S_2 + \dots + S_{n-2}$.

Другой мощный способ, особенно удобный в аналитической геометрии, когда известны координаты вершин, — это формула площади Гаусса (также известная как формула шнурков). Если вершины многоугольника заданы своими координатами $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ в порядке обхода по или против часовой стрелки, то его площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$.

Ответ: Один из способов нахождения площади произвольного многоугольника — разбить его диагоналями на непересекающиеся треугольники, найти площадь каждого из этих треугольников по одной из известных формул, а затем сложить полученные значения площадей.