Страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Дан равнобедренный треугольник ABC (рис. 21.15). Переместите одну из его вершин так, чтобы получился равнобедренный:

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;

б) прямоугольный треугольник, площадь которого в два раза меньше площади треугольника ABC;

в) тупоугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;

г) тупоугольный треугольник, площадь которого в три раза меньше площади треугольника ABC;

д) остроугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;

е) остроугольный треугольник, площадь которого в полтора раза больше площади треугольника ABC.

Рис. 21.15

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина A находится в начале координат (0, 0). Поскольку основание AC лежит на горизонтальной оси сетки и его длина составляет 6 клеток, вершина C будет иметь координаты (6, 0). Вершина B находится на расстоянии 3 клеток по горизонтали от A и 4 клеток по вертикали, поэтому ее координаты (3, 4). Длина стороны AC равна 6. Длины боковых сторон AB и BC равны $ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $. Высота треугольника, проведенная из вершины B к основанию AC, равна 4.Площадь исходного треугольника ABC: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 $ квадратных единиц.

а) прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;
Требуется получить равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью $ S = 12 $.Для равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом $L$ площадь равна $ S = \frac{L^2}{2} $.Следовательно, $ \frac{L^2}{2} = 12 $, что дает $ L^2 = 24 $. Длина катета $ L = \sqrt{24} $. Гипотенуза $ H = L\sqrt{2} = \sqrt{48} $.Ни одна из сторон исходного треугольника (5, 5, 6) не соответствует этим длинам. Перемещение одной вершины при сохранении двух других оставляет одну сторону неизменной, поэтому получить требуемый треугольник с такими сторонами невозможно.Задача в такой формулировке не имеет точного решения. Вероятно, в условии допущена ошибка. Наиболее близким по геометрическим свойствам (равнобедренный и прямоугольный) является треугольник, который можно получить, переместив вершину B.Переместим вершину B(3, 4) в точку B'(3, 3).Новый треугольник AB'C имеет вершины A(0, 0), B'(3, 3), C(6, 0).Проверим его свойства:1. Равнобедренный: $ AB' = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} $; $ CB' = \sqrt{(6-3)^2+(0-3)^2} = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18} $. Так как $AB' = CB'$, треугольник равнобедренный.2. Прямоугольный: Проверим скалярное произведение векторов $ \vec{B'A} = (-3, -3) $ и $ \vec{B'C} = (3, -3) $. $ \vec{B'A} \cdot \vec{B'C} = (-3) \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) = -9 + 9 = 0 $. Угол при вершине B' прямой.3. Площадь: $ S_{AB'C} = \frac{1}{2} \cdot AB' \cdot CB' = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{18} = \frac{18}{2} = 9 $.Площадь не равна 12, но это наиболее близкий по свойствам равнобедренный прямоугольный треугольник, который можно получить перемещением одной вершины в узел сетки.
Ответ: Вершину B(3, 4) переместить в точку B'(3, 3). (При этом будет получен равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью 9).

б) прямоугольный треугольник, площадь которого в два раза меньше площади треугольника ABC;
Требуется получить равнобедренный прямоугольный треугольник с площадью $ S = \frac{12}{2} = 6 $.Для такого треугольника $ \frac{L^2}{2} = 6 $, что дает $ L^2 = 12 $. Длина катета $ L = \sqrt{12} $.Как и в пункте а), создать такой треугольник, перемещая одну вершину, невозможно из-за несоответствия длин сторон.Предположим, что в условии была ошибка, и требуется получить равнобедренный треугольник (не обязательно прямоугольный) с площадью 6.Чтобы площадь стала 6, при сохранении основания AC=6, новая высота $h'$ должна быть такой, что $ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h' = 6 $, откуда $ h' = 2 $.Переместим вершину B(3, 4) в точку B'(3, 2), которая лежит на высоте 2 и на оси симметрии исходного треугольника.Новый треугольник AB'C имеет вершины A(0, 0), B'(3, 2), C(6, 0).Проверим его свойства:1. Равнобедренный: $ AB' = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} $; $ CB' = \sqrt{(6-3)^2+(0-2)^2} = \sqrt{3^2+(-2)^2} = \sqrt{13} $. Треугольник равнобедренный.2. Площадь: $ S_{AB'C} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h' = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6 $. Площадь верна.3. Тип: Треугольник является остроугольным, а не прямоугольным.
Ответ: Вершину B(3, 4) переместить в точку B'(3, 2). (При этом будет получен равнобедренный остроугольный треугольник с площадью 6).

в) тупоугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;
Требуется получить равнобедренный тупоугольный треугольник с площадью $ S = 12 $.Рассмотрим перемещение вершины C в точку C'(0, 8), оставив вершины A(0, 0) и B(3, 4) на месте.Новый треугольник ABC' имеет вершины A(0, 0), B(3, 4), C'(0, 8).Проверим его свойства:1. Площадь: Основание AC' лежит на оси OY, его длина равна 8. Высота, проведенная из вершины B к этому основанию, равна x-координате точки B, то есть 3. $ S_{ABC'} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12 $. Площадь верна.2. Равнобедренный: $ AB = 5 $ (из начальных данных). $ BC' = \sqrt{(3-0)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $. Так как $AB = BC'$, треугольник равнобедренный.3. Тупоугольный: Проверим угол при вершине B, противолежащий стороне AC'. Векторы $ \vec{BA} = (-3, -4) $ и $ \vec{BC'} = (-3, 4) $. Скалярное произведение: $ \vec{BA} \cdot \vec{BC'} = (-3)(-3) + (-4)(4) = 9 - 16 = -7 $. Так как скалярное произведение отрицательно, угол B является тупым.
Ответ: Вершину C(6, 0) переместить в точку C'(0, 8).

г) тупоугольный треугольник, площадь которого в три раза меньше площади треугольника ABC;
Требуется получить равнобедренный тупоугольный треугольник с площадью $ S = \frac{12}{3} = 4 $.Сохраним основание AC=6. Новая высота $h'$ должна удовлетворять условию $ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h' = 4 $, откуда $ h' = \frac{4}{3} $.Чтобы треугольник был равнобедренным, вершина B' должна лежать на серединном перпендикуляре к AC, то есть на прямой $x=3$. Таким образом, координаты новой вершины B' будут $ (3, 4/3) $.Новый треугольник AB'C имеет вершины A(0, 0), B'(3, 4/3), C(6, 0).1. Площадь: $ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{4}{3} = 4 $. Верно.2. Равнобедренный: По построению, $AB'=CB'$.3. Тупоугольный: Угол при вершине B' будет тупым, если вершина B' лежит внутри окружности, построенной на AC как на диаметре. Уравнение этой окружности $ (x-3)^2+y^2=3^2=9 $. Проверим точку B'(3, 4/3): $ (3-3)^2 + (4/3)^2 = 0 + 16/9 = 1.77... < 9 $. Точка лежит внутри окружности, следовательно, угол B' — тупой.
Ответ: Вершину B(3, 4) переместить в точку B'(3, 4/3).

д) остроугольный треугольник, площадь которого равна площади треугольника ABC;
Требуется получить равнобедренный остроугольный треугольник с площадью $ S = 12 $.Исходный треугольник ABC уже является таковым. Чтобы получить другой треугольник, можно переместить вершину B(3, 4) в симметричную ей точку B'(3, -4) относительно оси AC.Новый треугольник AB'C имеет вершины A(0, 0), B'(3, -4), C(6, 0).1. Площадь: Основание AC=6, высота $|-4|=4$. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 $. Верно.2. Равнобедренный: $ AB' = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5 $; $ CB' = \sqrt{(6-3)^2+(0-(-4))^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5 $. Треугольник равнобедренный.3. Остроугольный: Углы при основании A и C острые. Проверим угол B'. По теореме косинусов для $\triangle AB'C$: $ 6^2 = 5^2+5^2-2 \cdot 5 \cdot 5 \cos(\angle B') \Rightarrow 36 = 50 - 50\cos(\angle B') \Rightarrow \cos(\angle B') = \frac{14}{50} > 0 $. Угол B' острый.
Ответ: Вершину B(3, 4) переместить в точку B'(3, -4).

е) остроугольный треугольник, площадь которого в полтора раза больше площади треугольника ABC.
Требуется получить равнобедренный остроугольный треугольник с площадью $ S = 12 \cdot 1.5 = 18 $.Сохраним основание AC=6. Новая высота $h'$ должна удовлетворять условию $ \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h' = 18 $, откуда $ h' = 6 $.Переместим вершину B(3, 4) в точку B'(3, 6), чтобы сохранить равнобедренность.Новый треугольник AB'C имеет вершины A(0, 0), B'(3, 6), C(6, 0).1. Площадь: Основание AC=6, высота 6. $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 $. Верно.2. Равнобедренный: $ AB' = \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{45} $; $ CB' = \sqrt{(6-3)^2+(0-6)^2} = \sqrt{3^2+(-6)^2} = \sqrt{45} $. Треугольник равнобедренный.3. Остроугольный: Углы A и C острые. Проверим угол B'. По теореме косинусов: $ 6^2 = (\sqrt{45})^2+(\sqrt{45})^2-2 \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{45} \cos(\angle B') \Rightarrow 36 = 45+45-90\cos(\angle B') \Rightarrow 36 = 90 - 90\cos(\angle B') \Rightarrow \cos(\angle B') = \frac{54}{90} > 0 $. Угол B' острый.
Ответ: Вершину B(3, 4) переместить в точку B'(3, 6).

26. Точки $K$ и $M$ делят диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ на равные три отрезка (рис. 21.16). Какую часть от площади прямоугольника $ABCD$ составляет площадь треугольника $KBM$?

Рис. 21.16

Рассмотрим треугольник $ABC$. Его площадь $S_{ABC}$ составляет половину площади прямоугольника $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Теперь рассмотрим треугольники $ABK$, $KBM$ и $MBC$. У этих трех треугольников есть общая вершина $B$, а их основания $AK$, $KM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту на диагональ $AC$. Длина этой высоты будет одинаковой для всех трех треугольников: $\triangle ABK$, $\triangle KBM$ и $\triangle MBC$. Обозначим эту высоту как $h_B$.

По условию задачи, точки $K$ и $M$ делят диагональ $AC$ на три равных отрезка, следовательно, основания этих треугольников равны:

$AK = KM = MC$

Поскольку у треугольников $ABK$, $KBM$ и $MBC$ равные основания и общая высота, их площади также равны:

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B$

$S_{KBM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot h_B$

$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h_B$

Следовательно, $S_{ABK} = S_{KBM} = S_{MBC}$.

Сумма площадей этих трех треугольников равна площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{ABK} + S_{KBM} + S_{MBC} = 3 \cdot S_{KBM}$

Из этого соотношения мы можем выразить площадь треугольника $KBM$ через площадь треугольника $ABC$:

$S_{KBM} = \frac{1}{3} S_{ABC}$

Подставим ранее найденное выражение для $S_{ABC}$:

$S_{KBM} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) = \frac{1}{6} S_{ABCD}$

Таким образом, площадь треугольника $KBM$ составляет одну шестую часть от площади прямоугольника $ABCD$.

Ответ: Площадь треугольника $KBM$ составляет $\frac{1}{6}$ от площади прямоугольника $ABCD$.

27. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ (рис. 21.17, 21.18, 21.19). Чему равна сумма площадей закрашенных частей параллелограмма, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна 56?

Обозначим площадь параллелограмма $ABCD$ как $S_{ABCD}$, основание $AD$ как $a$ и высоту, проведенную к этому основанию, как $h$. Тогда $S_{ABCD} = a \cdot h = 56$. По условию, точка $N$ — середина стороны $AD$, а точка $M$ — середина стороны $BC$. Из свойств параллелограмма следует, что $AD = BC = a$ и $AD \parallel BC$. Следовательно, $AN = ND = \frac{1}{2}a$ и $BM = MC = \frac{1}{2}a$. Рассмотрим каждый рисунок отдельно.

Рис. 21.17

Закрашенные части — это треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CDM$. Площадь треугольника $\triangle ABN$ с основанием $AN$ и высотой, равной высоте параллелограмма $h$ (расстояние от точки $B$ до прямой $AD$), равна: $S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot h = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Площадь треугольника $\triangle CDM$ можно найти, используя формулу площади через стороны и угол между ними. Пусть $\angle D = \alpha$, тогда $\angle C = 180^\circ - \alpha$. Площадь параллелограмма также можно выразить как $S_{ABCD} = CD \cdot BC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = CD \cdot a \cdot \sin(\alpha)$. Площадь $\triangle CDM$ равна: $S_{CDM} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MC \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{4} (CD \cdot BC \cdot \sin(180^\circ - \alpha)) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Сумма площадей закрашенных частей равна: $S_{закраш.} = S_{ABN} + S_{CDM} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.

Рис. 21.18

Закрашенная часть — это четырехугольник $AMCN$. Так как $N$ и $M$ — середины параллельных и равных сторон $AD$ и $BC$ соответственно, то отрезки $AN$ и $MC$ параллельны и равны: $AN = MC = \frac{1}{2}a$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $AMCN$ — параллелограмм.

Площадь параллелограмма $AMCN$ с основанием $AN$ и высотой, равной высоте исходного параллелограмма $h$ (расстояние между прямыми $AD$ и $BC$), равна: $S_{AMCN} = AN \cdot h = (\frac{1}{2}a) \cdot h = \frac{1}{2} (a \cdot h) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Площадь закрашенной части равна: $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.

Рис. 21.19

Закрашенные части — это треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCN$. Площадь треугольника $\triangle ADM$ с основанием $AD$ и высотой, проведенной из точки $M$ к прямой $AD$. Так как $M$ — середина $BC$ и $BC \parallel AD$, эта высота равна половине высоты параллелограмма $ABCD$, то есть $\frac{1}{2}h$. $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (\frac{1}{2}h) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Площадь треугольника $\triangle BCN$ с основанием $BC$ и высотой, проведенной из точки $N$ к прямой $BC$. Так как $N$ — середина $AD$ и $AD \parallel BC$, эта высота также равна половине высоты параллелограмма $ABCD$, то есть $\frac{1}{2}h$. $S_{BCN} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (\frac{1}{2}h) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Сумма площадей закрашенных частей равна: $S_{закраш.} = S_{ADM} + S_{BCN} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.