Страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $b$ и основанием $a$. По условию, $b=5$, а $a=6$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $h$ – высота, проведенная к основанию $a$.

Проведем высоту из вершины, противолежащей основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота делит наш равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его гипотенуза – это боковая сторона исходного треугольника, равная 5. Один из катетов – это половина основания, то есть $\frac{6}{2} = 3$. Второй катет – это искомая высота $h$.

По теореме Пифагора ($c^2 = a_1^2 + a_2^2$), где $c$ – гипотенуза, а $a_1$ и $a_2$ – катеты, найдем высоту $h$:

$5^2 = 3^2 + h^2$

$25 = 9 + h^2$

$h^2 = 25 - 9$

$h^2 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4$

Теперь, когда известны основание $a=6$ и высота $h=4$, можем вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12.

4. Площадь треугольника равна $30$. Одна его сторона равна $10$. Найдите высоту, опущенную на эту сторону.

Для нахождения высоты треугольника воспользуемся формулой его площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ — длина стороны, а $h$ — высота, опущенная на эту сторону.

Из условия задачи нам известны следующие величины:
Площадь треугольника $S = 30$.
Длина стороны $a = 10$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестную высоту $h$:
$30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$

Упростим правую часть уравнения:
$30 = 5 \cdot h$

Теперь выразим $h$, разделив обе части уравнения на 5:
$h = \frac{30}{5}$
$h = 6$

Таким образом, высота, опущенная на сторону длиной 10, равна 6.
Ответ: 6

5. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен:
а) $30^\circ$;
б) $45^\circ$;
в) $60^\circ$;
г) $90^\circ$.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ — угол между этими сторонами. По условию задачи $a = 3$ см, $b = 8$ см. Подставим эти значения в формулу и решим задачу для каждого из заданных углов.

а) Если угол между сторонами равен $30^\circ$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см².
Ответ: 6 см².

б) Если угол между сторонами равен $45^\circ$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см².
Ответ: $6\sqrt{2}$ см².

в) Если угол между сторонами равен $60^\circ$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².
Ответ: $6\sqrt{3}$ см².

г) Если угол между сторонами равен $90^\circ$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(90^\circ) = 12 \cdot 1 = 12$ см².
(В этом случае треугольник является прямоугольным, а данные стороны — его катетами, поэтому площадь также можно найти как половину произведения катетов).
Ответ: 12 см².

6. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен:

а) 120°;

б) 135°;

в) 150°.

Для нахождения площади треугольника используется формула, связывающая две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — это длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами.

В нашей задаче даны стороны $a = 6$ см и $b = 8$ см. Рассмотрим каждый случай для заданного угла.

а) Угол между сторонами равен $120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ)$.
Для вычисления синуса воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.

б) Угол между сторонами равен $135^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(135^\circ)$.
Вычисляем синус: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $12\sqrt{2}$ см$^2$.

в) Угол между сторонами равен $150^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ)$.
Вычисляем синус: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см$^2$.
Ответ: $12$ см$^2$.

7. В треугольнике ABC сторона AB в три раза больше стороны AC. Чему равно отношение высот, проведенных из вершин В и С?

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны равны $AB$ и $AC$. Обозначим высоту, проведенную из вершины B к стороне AC, как $h_B$, а высоту, проведенную из вершины C к стороне AB, как $h_C$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Запишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

1. Используя сторону $AC$ и высоту $h_B$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

2. Используя сторону $AB$ и высоту $h_C$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$

Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$AC \cdot h_B = AB \cdot h_C$

По условию задачи, сторона $AB$ в три раза больше стороны $AC$, то есть $AB = 3 \cdot AC$. Подставим это соотношение в наше уравнение:

$AC \cdot h_B = (3 \cdot AC) \cdot h_C$

Теперь разделим обе части уравнения на $AC$ (так как длина стороны не может быть равна нулю):

$h_B = 3 \cdot h_C$

Нам необходимо найти отношение высот, проведенных из вершин B и C, то есть отношение $h_B$ к $h_C$. Для этого разделим обе части последнего равенства на $h_C$:

$\frac{h_B}{h_C} = 3$

Таким образом, отношение высоты, проведенной из вершины B, к высоте, проведенной из вершины C, равно 3.

Ответ: 3.

8. Как изменится площадь треугольника, если:

а) не изменяя его сторону, увеличить опущенную на нее высоту в два раза;

б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза;

в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в восемь раз?

Для решения этой задачи мы будем использовать основную формулу для вычисления площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – это длина стороны треугольника (основание), а $h$ – это длина высоты, опущенной на эту сторону.

Обозначим исходную площадь как $S_1$, исходную сторону как $a_1$, а исходную высоту как $h_1$. Таким образом, $S_1 = \frac{1}{2}a_1h_1$.

а) В этом случае сторона $a_1$ остается неизменной ($a_2 = a_1$), а высота $h_1$ увеличивается в два раза ($h_2 = 2h_1$). Найдем новую площадь $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}a_1(2h_1) = 2 \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = 2S_1$.
Таким образом, площадь треугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

б) Здесь высота $h_1$ остается неизменной ($h_2 = h_1$), а сторона $a_1$ уменьшается в три раза ($a_2 = \frac{a_1}{3}$). Вычислим новую площадь $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}(\frac{a_1}{3})h_1 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = \frac{S_1}{3}$.
Следовательно, площадь треугольника уменьшится в 3 раза.
Ответ: площадь уменьшится в 3 раза.

в) В данном случае сторону $a_1$ увеличивают в четыре раза ($a_2 = 4a_1$), а высоту $h_1$ уменьшают в восемь раз ($h_2 = \frac{h_1}{8}$). Рассчитаем, как изменится площадь:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}(4a_1)(\frac{h_1}{8}) = \frac{4}{8} \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = \frac{1}{2}S_1$.
Значит, площадь треугольника уменьшится в 2 раза.
Ответ: площадь уменьшится в 2 раза.

9. Площадь треугольника $ABC$ равна 4. Точки $D, E$ — середины сторон соответственно $AC$ и $BC$ (рис. 21.5). Найдите площадь треугольника $CDE$.

Рис. 21.5

Рассмотрим треугольники $CDE$ и $ABC$. По условию задачи, точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Из этого следует, что $CD$ составляет половину от $AC$, а $CE$ составляет половину от $BC$:

$CD = \frac{1}{2}AC$

$CE = \frac{1}{2}BC$

Треугольник $CDE$ и треугольник $ABC$ имеют общий угол $C$. Стороны, образующие этот угол, у этих треугольников пропорциональны:

$\frac{CD}{AC} = \frac{CE}{BC} = \frac{1}{2}$

Следовательно, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2$

Подставим значение коэффициента подобия:

$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Теперь, зная, что площадь треугольника $ABC$ равна 4, мы можем найти площадь треугольника $CDE$:

$S_{CDE} = S_{ABC} \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

Ответ: 1