Страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется высотой параллелограмма?

2. Сформулируйте первую теорему о площади параллелограмма.

3. Сформулируйте вторую теорему о площади параллелограмма.

1. Высотой параллелограмма, проведенной к определенной стороне, называется перпендикуляр, опущенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую первую сторону. Проще говоря, это отрезок, который соединяет две параллельные стороны и перпендикулярен им. Так как у параллелограмма две пары параллельных сторон, у него есть и две различные высоты (если он не является прямоугольником). Одна высота проводится к одной паре параллельных сторон, а другая — к другой.
Ответ: Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на прямую, содержащую противолежащую сторону.

2. Первая теорема о площади параллелограмма гласит: площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Если обозначить длину стороны как $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h_a$, то формула площади $S$ будет выглядеть так: $S = a \cdot h_a$. Аналогично, площадь можно найти, используя другую сторону $b$ и соответствующую ей высоту $h_b$: $S = b \cdot h_b$. Из этого следует, что $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне ($S = a \cdot h_a$).

3. Вторая теорема о площади параллелограмма гласит: площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Если обозначить длины смежных сторон как $a$ и $b$, а угол между этими сторонами как $\alpha$, то формула площади $S$ будет выглядеть так: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$. Эта формула является следствием первой теоремы. Высота $h_a$, опущенная на сторону $a$, может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, стороной $b$ и частью стороны $a$. В этом треугольнике $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$. Подставив это в первую формулу $S = a \cdot h_a$, получим $S = a \cdot (b \cdot \sin(\alpha)) = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними ($S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$).

1. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 10 см и 4 см, а одна из высот равна 5 см.

1. Для решения задачи необходимо определить, к какой из сторон параллелограмма проведена данная высота. Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле: $S = a \cdot h_a$, где $a$ – сторона параллелограмма, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне.

В параллелограмме есть две стороны: $a = 10$ см и $b = 4$ см, и две соответствующие им высоты $h_a$ и $h_b$. Важным свойством высоты в параллелограмме является то, что она не может быть больше смежной стороны. То есть, высота, проведенная к стороне $a$, не может быть больше стороны $b$ ($h_a \le b$), а высота, проведенная к стороне $b$, не может быть больше стороны $a$ ($h_b \le a$). Это связано с тем, что высота является катетом прямоугольного треугольника, где смежная сторона выступает в роли гипотенузы.

Дана высота $h = 5$ см. Проверим, к какой стороне она может быть проведена:

Случай 1: Высота проведена к большей стороне, то есть $h_a = 5$ см, а сторона основания $a = 10$ см. Смежная сторона в этом случае $b = 4$ см. Проверим условие $h_a \le b$. Подставляем значения: $5 \le 4$. Это неравенство неверно, следовательно, высота 5 см не может быть проведена к стороне 10 см.

Случай 2: Высота проведена к меньшей стороне, то есть $h_b = 5$ см, а сторона основания $b = 4$ см. Смежная сторона $a = 10$ см. Проверим условие $h_b \le a$. Подставляем значения: $5 \le 10$. Это неравенство верно, следовательно, высота 5 см проведена к стороне 4 см.

Таким образом, мы определили, что основанием для высоты 5 см является сторона, равная 4 см.

Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:

$S = b \cdot h_b = 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.

Ответ: $20 \text{ см}^2$.

2. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 5, а высота равна 4.

2. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому его площадь можно найти по формуле площади параллелограмма: произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию. Формула для вычисления площади ромба через сторону и высоту выглядит следующим образом:

$S = a \cdot h$

где $S$ — площадь ромба, $a$ — длина стороны ромба, $h$ — длина высоты ромба.

По условию задачи нам известны следующие величины:

Сторона ромба $a = 5$.

Высота ромба $h = 4$.

Подставим данные значения в формулу для нахождения площади:

$S = 5 \cdot 4 = 20$

Таким образом, площадь ромба равна 20.

Ответ: 20

3. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 8 см и 10 см, а угол между ними равен:

а) $30^{\circ}$;

б) $45^{\circ}$;

в) $60^{\circ}$.

Для нахождения площади параллелограмма используется формула, связывающая две его стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма, а $\alpha$ — угол между этими сторонами.

Согласно условию задачи, у нас есть стороны $a = 8$ см, $b = 10$ см. Подставим эти значения и значения углов из каждого пункта в формулу.

а)Угол между сторонами равен $30^{\circ}$.
$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(30^{\circ})$
Зная, что $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$ см².
Ответ: $40$ см².

б)Угол между сторонами равен $45^{\circ}$.
$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(45^{\circ})$
Зная, что $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40\sqrt{2}$ см².
Ответ: $40\sqrt{2}$ см².

в)Угол между сторонами равен $60^{\circ}$.
$S = 8 \cdot 10 \cdot \sin(60^{\circ})$
Зная, что $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$S = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}$ см².
Ответ: $40\sqrt{3}$ см².