Страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Найдите площади фигур на рисунке 19.6. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 19.6

а) Площадь фигуры можно найти, посчитав количество квадратных клеток, из которых она состоит. По условию, сторона каждой клетки равна 1, значит, ее площадь равна $1 \times 1 = 1$ квадратной единице.

Фигура представляет собой крест. Можно посчитать количество клеток напрямую. В центральном вертикальном ряду 5 клеток, в центральном горизонтальном ряду также 5 клеток. Центральная клетка является общей для них. Таким образом, общее количество клеток равно: $5 + 5 - 1 = 9$.

Другой способ — представить фигуру как объединение двух прямоугольников: вертикального размером $1 \times 5$ и горизонтального размером $5 \times 1$. Площадь фигуры будет равна сумме их площадей за вычетом площади их пересечения (квадрата $1 \times 1$):

$S_a = S_{вертикальный} + S_{горизонтальный} - S_{пересечение} = (1 \times 5) + (5 \times 1) - (1 \times 1) = 5 + 5 - 1 = 9$ квадратных единиц.

Ответ: 9

б) Фигура представляет собой рамку. Ее площадь можно найти как разность площадей внешнего (большого) и внутреннего (малого) квадратов.

Внешний квадрат имеет сторону, равную 4 клеткам, то есть его сторона равна 4. Его площадь составляет:

$S_{внешний} = 4 \times 4 = 16$ квадратных единиц.

Внутренний квадрат (отверстие) имеет сторону, равную 2 клеткам, то есть его сторона равна 2. Его площадь составляет:

$S_{внутренний} = 2 \times 2 = 4$ квадратные единицы.

Площадь закрашенной фигуры равна разности площадей внешнего и внутреннего квадратов:

$S_б = S_{внешний} - S_{внутренний} = 16 - 4 = 12$ квадратных единиц.

Также можно просто посчитать количество закрашенных клеток, их 12. Следовательно, площадь фигуры равна 12.

Ответ: 12

3. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 19.7, все углы которых прямые.

а)

б)

Рис. 19.7

а)

Площадь данной фигуры можно найти двумя способами: разбив её на более простые прямоугольники и сложив их площади, либо найдя площадь большого прямоугольника, в который вписана фигура, и вычтя из неё площадь "вырезанной" части.

Воспользуемся вторым способом (методом вычитания).

1. Сначала представим фигуру как большой сплошной прямоугольник. Согласно рисунку, его ширина равна 3, а высота — 2.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{внешний} = ширина \times высота = 3 \times 2 = 6$

3. Теперь найдём размеры и площадь вырезанной части. Это прямоугольник в верхней центральной части фигуры. Его высота указана и равна 1. Его ширину можно вычислить, отняв от общей ширины (3) длины двух верхних боковых отрезков (каждый по 1):

$ширина_{выреза} = 3 - 1 - 1 = 1$

4. Площадь вырезанного прямоугольника:

$S_{вырез} = 1 \times 1 = 1$

5. Чтобы найти площадь исходной фигуры, вычтем площадь вырезанной части из площади внешнего прямоугольника:

$S_{фигуры} = S_{внешний} - S_{вырез} = 6 - 1 = 5$

Ответ: 5

б)

Для нахождения площади этой фигуры также удобно использовать метод вычитания. Сначала найдём площадь внешнего прямоугольника (габаритного контейнера), в который можно вписать фигуру, а затем вычтем площади "пустых" областей.

1. Определим общую (габаритную) ширину и высоту фигуры. Так как все углы прямые, общая ширина равна сумме длин всех горизонтальных отрезков, направленных вправо (или влево), а общая высота — сумме длин всех вертикальных отрезков, направленных вверх (или вниз).

Общая ширина = $1 (сверху) + 2 (посередине) = 3$

Общая высота = $2 (слева) + 1 (снизу) = 3$

2. Фигура вписывается в квадрат со стороной 3. Его площадь:

$S_{внешний} = 3 \times 3 = 9$

3. Фигура не занимает весь квадрат; в нём есть две пустые прямоугольные области. Найдём их площади.

- Первая пустая область находится в верхнем правом углу габаритного квадрата. Её стороны образованы внутренними границами фигуры. Это горизонтальный отрезок длиной 2 и вертикальный отрезок длиной 1. Таким образом, площадь первой пустой области:

$S_{пуст1} = 2 \times 1 = 2$

- Вторая пустая область находится в нижнем левом углу. Её стороны также являются внутренними границами фигуры: это горизонтальный отрезок длиной 2 и вертикальный отрезок длиной 1. Площадь второй пустой области:

$S_{пуст2} = 2 \times 1 = 2$

4. Искомая площадь фигуры равна площади габаритного квадрата за вычетом площадей двух пустых областей:

$S_{фигуры} = S_{внешний} - S_{пуст1} - S_{пуст2} = 9 - 2 - 2 = 5$

Ответ: 5

4. На рисунке 19.8 укажите равновеликие фигуры (стороны квадратных клеток равны 1).

Рис. 19.8

Равновеликими называются фигуры, имеющие равные площади. Для того чтобы найти равновеликие фигуры на рисунке, необходимо вычислить площадь каждой из них. Так как сторона одной квадратной клетки равна 1, то площадь одной клетки составляет $1 \times 1 = 1$ квадратную единицу. Площадь каждой фигуры можно найти, посчитав количество клеток внутри неё или умножив её длину на ширину.

а) Фигура 'а' — это квадрат со стороной 4 клетки. Его площадь $S_а$ равна:$S_а = 4 \times 4 = 16$ квадратных единиц.

б) Фигура 'б' — это прямоугольник со сторонами 6 и 3 клетки. Его площадь $S_б$ равна:$S_б = 6 \times 3 = 18$ квадратных единиц.

в) Фигура 'в' — это прямоугольник со сторонами 8 и 2 клетки. Его площадь $S_в$ равна:$S_в = 8 \times 2 = 16$ квадратных единиц.

г) Фигура 'г' — это прямоугольник со сторонами 3 и 5 клеток. Его площадь $S_г$ равна:$S_г = 3 \times 5 = 15$ квадратных единиц.

д) Фигура 'д' — это прямоугольник со сторонами 6 и 2 клетки. Его площадь $S_д$ равна:$S_д = 6 \times 2 = 12$ квадратных единиц.

Сравнив площади всех фигур, видим, что площади фигур 'а' и 'в' равны между собой: $S_а = 16$ и $S_в = 16$. Следовательно, фигуры 'а' и 'в' являются равновеликими.

Ответ: равновеликими являются фигуры а) и в).