Страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Измерение углов и расстояний на местности. Практические задачи на нахождение расстояний и углов (www.math.ru).

Измерение расстояний и углов на местности является одной из важнейших практических задач геометрии. Когда прямое измерение невозможно (например, нужно измерить ширину реки, высоту дерева или расстояние до недоступного объекта), на помощь приходят методы тригонометрии. Основной принцип заключается в построении на местности воображаемых треугольников, измерении в них тех элементов, которые доступны (обычно это одна сторона, называемая базисом, и несколько углов), и последующем вычислении неизвестных сторон или углов с помощью тригонометрических соотношений.

Для измерения углов на местности используют специальные приборы, такие как теодолит или астролябия. Простейшие угломерные инструменты можно изготовить и самостоятельно. Расстояния (базис) измеряют рулеткой или лазерным дальномером.

Рассмотрим несколько типовых практических задач.

Задача 1: Определение высоты объекта

Условие: Необходимо найти высоту дерева (или любого другого вертикального объекта), основание которого доступно.

Решение: Пусть $BC$ — это высота дерева, которую нужно найти. Мы можем подойти к основанию дерева в точке $C$.

1. На некотором расстоянии от основания дерева $C$ выберем точку $A$ на земле. Измерим расстояние $AC$ с помощью рулетки. Это будет наш базис. Обозначим его $d$.

2. Из точки $A$ измерим угол подъема до вершины дерева $B$. Это угол $\angle CAB$, обозначим его $\alpha$.

3. Будем считать, что дерево растет перпендикулярно земле, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ искомая высота $h = BC$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а измеренное расстояние $d = AC$ — прилежащим катетом. Их связывает тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{h}{d}$

5. Из этой формулы выражаем высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(\alpha)$

6. Если угол измеряется не с уровня земли, а с некоторой высоты (например, с высоты роста наблюдателя), то эту высоту нужно прибавить к полученному значению $h$.

Пример: Пусть мы отошли от дерева на расстояние $d = 20$ м и измерили угол подъема к его вершине, который оказался равен $\alpha = 30^\circ$. Измерение проводилось с высоты 1.6 м.
Высота дерева $h_{часть} = 20 \cdot \tan(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 20 \cdot 0.577 = 11.54$ м.
Полная высота дерева: $H = h_{часть} + 1.6 \text{ м} = 11.54 + 1.6 = 13.14$ м.

Ответ: Высоту объекта можно найти по формуле $h = d \cdot \tan(\alpha)$, где $d$ — расстояние до основания объекта, а $\alpha$ — угол подъема к его вершине. К полученному результату необходимо прибавить высоту, с которой производилось измерение угла.

Задача 2: Определение расстояния до недоступной точки

Условие: Найти расстояние от точки $A$ на берегу реки до точки $C$ на другом берегу.

Решение: Прямое измерение невозможно, так как нас разделяет река.

1. На своем берегу выберем вторую точку $B$ на некотором расстоянии от точки $A$. Измерим расстояние $AB$. Это наш базис, обозначим его $c$.

2. Из точки $A$ измерим угол $\angle CAB$, который мы обозначим как $\alpha$.

3. Из точки $B$ измерим угол $\angle CBA$, который мы обозначим как $\beta$.

4. Теперь у нас есть треугольник $ABC$, в котором известна сторона $c$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Искомое расстояние — это сторона $AC$, которую мы обозначим как $b$.

5. Найдем третий угол треугольника: $\angle ACB = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

6. Для нахождения стороны $b$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

7. Выразим отсюда искомую сторону $b$:

$b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, формулу можно упростить: $b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Пример: Пусть расстояние между точками $A$ и $B$ на берегу равно $c = 100$ м. Измеренные углы: $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 50^\circ$.
Найдем третий угол: $\gamma = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем расстояние $AC = b$ по теореме синусов:
$b = \frac{100 \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(60^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.766}{0.866} \approx 88.45$ м.

Ответ: Расстояние до недоступной точки $b$ находится по формуле $b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$, где $c$ — длина базиса, а $\alpha$ и $\beta$ — углы, измеренные из концов базиса на недоступную точку.

Задача 3: Определение расстояния между двумя недоступными точками

Условие: Найти расстояние между двумя объектами $C$ и $D$, находящимися на другом берегу реки.

Решение: Это более сложная задача, решаемая в несколько этапов.

1. Как и в предыдущей задаче, на своем берегу выбираем базис $AB$ и измеряем его длину $d$.

2. Из точки $A$ измеряем углы до обеих недоступных точек: $\angle CAB = \alpha_1$ и $\angle DAB = \alpha_2$.

3. Из точки $B$ также измеряем углы до обеих недоступных точек: $\angle CBA = \beta_1$ и $\angle DBA = \beta_2$.

4. Наша цель — найти длину отрезка $CD$. Для этого мы найдем длины сторон $AC$ и $AD$ в треугольнике $ACD$, а также угол между ними $\angle CAD$.

5. Рассматриваем треугольник $ABC$. Как в Задаче 2, находим сторону $AC$:
$\angle ACB = 180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1)$.
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{d \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\alpha_1 + \beta_1)}$.

6. Рассматриваем треугольник $ABD$. Аналогично находим сторону $AD$:
$\angle ADB = 180^\circ - (\alpha_2 + \beta_2)$.
$AD = \frac{AB \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{d \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\alpha_2 + \beta_2)}$.

7. Теперь у нас есть две стороны треугольника $ACD$. Угол между ними $\angle CAD$ можно легко найти из наших измерений: $\angle CAD = |\alpha_2 - \alpha_1|$.

8. Зная две стороны ($AC$ и $AD$) и угол между ними ($\angle CAD$), мы можем найти искомую сторону $CD$ по теореме косинусов:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(|\alpha_2 - \alpha_1|)}$

Пример: Пусть базис $AB = d = 100$ м. Измеренные углы: $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 50^\circ$, $\beta_1 = 110^\circ$, $\beta_2 = 40^\circ$.
Находим $AC$ из $\triangle ABC$: $AC = \frac{100 \cdot \sin(110^\circ)}{\sin(30^\circ+110^\circ)} = \frac{100 \cdot \sin(110^\circ)}{\sin(140^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.940}{0.643} \approx 146.2$ м.
Находим $AD$ из $\triangle ABD$: $AD = \frac{100 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(50^\circ+40^\circ)} = \frac{100 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(90^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.643}{1} = 64.3$ м.
Находим угол $\angle CAD = |50^\circ - 30^\circ| = 20^\circ$.
Находим $CD$ по теореме косинусов:
$CD^2 \approx 146.2^2 + 64.3^2 - 2 \cdot 146.2 \cdot 64.3 \cdot \cos(20^\circ)$
$CD^2 \approx 21374 + 4134 - 18802 \cdot 0.940 \approx 25508 - 17674 = 7834$
$CD \approx \sqrt{7834} \approx 88.5$ м.

Ответ: Расстояние между двумя недоступными точками $C$ и $D$ находится путем последовательного применения теорем синусов (для нахождения расстояний от точек базиса до недоступных точек) и косинусов (для нахождения искомого расстояния в конечном треугольнике).

Множество подобных задач, а также их наглядные анимированные решения, можно найти на образовательном портале «Математические этюды», который является преемником сайта www.math.ru, указанного в вопросе.

13. Попробуйте определить понятие площади фигуры. Какие вы знаете единицы измерения площади?

Попробуйте определить понятие площади фигуры

Площадь фигуры — это количественная характеристика, которая показывает размер части плоскости, занимаемой этой фигурой. Иными словами, это величина, измеряющая, «сколько места» фигура занимает на поверхности. Измерение площади заключается в сравнении её с эталонной единицей измерения — площадью единичного квадрата. Единичный квадрат — это квадрат, сторона которого равна одной единице длины (например, 1 сантиметру, 1 метру). Площадь фигуры выражается числом, которое показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Для формального определения, площадь — это функция $S$, которая каждой фигуре $F$ на плоскости ставит в соответствие неотрицательное действительное число $S(F)$ и удовлетворяет следующим аксиомам (свойствам):

1. Неотрицательность: Площадь любой фигуры не может быть отрицательной, то есть $S(F) \ge 0$.

2. Нормировка: Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице.

3. Инвариантность: Если две фигуры конгруэнтны (равны), то их площади равны. Это означает, что при перемещении или повороте фигуры её площадь не изменяется.

4. Аддитивность: Если фигура $F$ разделена на две части $F_1$ и $F_2$ без общих внутренних точек, то её площадь равна сумме площадей этих частей: $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.

Ответ: Площадь фигуры — это неотрицательная величина, численно характеризующая размер части плоскости, которую занимает фигура. Она определяется путем сравнения с площадью единичного квадрата и обладает свойствами аддитивности (площадь целого равна сумме площадей частей) и инвариантности (равные фигуры имеют равные площади).

Какие вы знаете единицы измерения площади?

Единицы измерения площади являются производными от единиц длины. В Международной системе единиц (СИ) основной единицей площади является квадратный метр ($м^2$). Существует множество других единиц, используемых для удобства в зависимости от размера измеряемого объекта.

Наиболее распространенные единицы измерения площади:

- Квадратный миллиметр ($мм^2$): площадь квадрата со стороной 1 мм.

- Квадратный сантиметр ($см^2$): равен площади квадрата со стороной 1 см. $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.

- Квадратный дециметр ($дм^2$): равен площади квадрата со стороной 1 дм. $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.

- Квадратный метр ($м^2$): основная единица в СИ. $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2 = 10 000 \text{ см}^2$.

- Квадратный километр ($км^2$): используется для больших территорий. $1 \text{ км}^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$.

Единицы для измерения земельных участков:

- Ар (а), также известный как сотка: равен площади квадрата со стороной 10 м. $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.

- Гектар (га): равен площади квадрата со стороной 100 м. $1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10 000 \text{ м}^2$.

Ответ: Основные единицы измерения площади: квадратный миллиметр ($мм^2$), квадратный сантиметр ($см^2$), квадратный дециметр ($дм^2$), квадратный метр ($м^2$), квадратный километр ($км^2$), а также специальные единицы для измерения земельных участков — ар (сотка) и гектар (га).

14. Сформулируйте какие-нибудь свойства площади.

Свойство 1: Неотрицательность
Площадь любой геометрической фигуры — это неотрицательная величина. Для любой фигуры $F$ её площадь $S(F) \ge 0$. Площадь вырожденной фигуры, такой как точка или отрезок, равна нулю, а площадь любой невырожденной фигуры (например, треугольника или круга) строго положительна.
Ответ: Площадь любой фигуры не может быть отрицательной.

Свойство 2: Аддитивность
Если фигура разделена на несколько частей, не имеющих общих внутренних точек, то её площадь равна сумме площадей этих частей. Например, если фигура $F$ составлена из двух непересекающихся фигур $F_1$ и $F_2$, то их общая площадь равна $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.
Ответ: Площадь целого равна сумме площадей его частей.

Свойство 3: Инвариантность
Равные (конгруэнтные) фигуры имеют равные площади. Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, то и их площади равны: $S(F_1) = S(F_2)$. Это означает, что площадь фигуры не изменяется при её движении (параллельном переносе, повороте) или зеркальном отражении.
Ответ: Равные фигуры имеют равные площади.

Свойство 4: Нормированность (наличие эталона)
Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимается за единицу измерения площади. Например, площадь квадрата со стороной 1 метр равна 1 квадратному метру ($1 \text{ м}^2$). Это свойство задаёт эталон, с которым сравниваются площади других фигур.
Ответ: Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.

Свойство 5: Монотонность
Если одна фигура является частью другой, то её площадь не больше площади той фигуры, которая её содержит. Если фигура $F_1$ полностью содержится внутри фигуры $F_2$, то $S(F_1) \le S(F_2)$.
Ответ: Если одна фигура является частью другой, её площадь не может быть больше.

1. Чему равен $\sin 60^\circ$:

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Для нахождения значения $\sin 60^\circ$, которое является одним из основных тригонометрических значений, можно воспользоваться геометрическим методом. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Такой треугольник можно получить, разделив равносторонний треугольник высотой пополам. Возьмем равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Все его углы равны $60^\circ$. Проведем высоту из одной из вершин к основанию. Эта высота разделит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Его характеристики:
• гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника, то есть 2;
• катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$ (половина основания), равен 1;
• второй катет, который является высотой, найдем по теореме Пифагора: $h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$, следовательно, $h = \sqrt{3}$.
Этот катет с длиной $\sqrt{3}$ лежит напротив угла в $60^\circ$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла в $60^\circ$ получаем:
$\sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:
A.$\frac{1}{2}$. Это значение $\sin 30^\circ$ или $\cos 60^\circ$. Неверно.
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение $\tan 30^\circ$. Неверно.
C.$\sqrt{3}$. Это значение $\tan 60^\circ$. Неверно.
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это верное значение для $\sin 60^\circ$.

Ответ: D.

2. Чему равен $cos 30^\circ$:

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Для решения задачи необходимо найти значение $cos(30°)$. Это одна из основных величин в тригонометрии, и ее значение можно определить несколькими способами.

Способ 1: Геометрический метод (через прямоугольный треугольник)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами $30°$ и $60°$. Согласно свойствам такого треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Обозначим длину этого катета как $x$. Тогда длина гипотенузы будет равна $2x$.

2. Найдем длину второго катета, который прилегает к углу в $30°$. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Пусть искомый катет — это $b$.

$b^2 + x^2 = (2x)^2$

$b^2 + x^2 = 4x^2$

$b^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$

$b = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$

3. По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

$cos(30°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x\sqrt{3}}{2x}$

4. Сокращая $x$ в числителе и знаменателе, получаем:

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрической таблицы

Значение косинуса для стандартных углов ($30°$, $45°$, $60°$) является табличным. Из тригонометрической таблицы известно, что $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

A. $\frac{1}{2}$. Это значение равно $sin(30°)$ или $cos(60°)$. Вариант неверный.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение равно $tg(30°)$. Вариант неверный.

C. $\sqrt{3}$. Это значение равно $tg(60°)$. Вариант неверный.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот вариант совпадает с результатом наших вычислений. Вариант верный.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Чему равен $tg 45^\circ$:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. B. $1$. C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. D. $\sqrt{3}$ ?

Для нахождения значения тангенса угла 45° ($\tg 45°$) можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Через определение в прямоугольном треугольнике

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 45°. Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180°, второй острый угол также будет равен $180° - 90° - 45° = 45°$.

Треугольник с двумя равными углами является равнобедренным. В нашем случае это означает, что катеты (стороны, лежащие напротив равных углов) равны между собой.

Обозначим длину каждого катета буквой $a$.

Теперь применим определение тангенса для угла в 45°:
$\tg 45° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$

Способ 2: Через тригонометрическое тождество

Значение тангенса угла можно вычислить через отношение синуса этого угла к его косинусу, используя формулу:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Значения синуса и косинуса для угла 45° являются стандартными табличными значениями:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу:
$\tg 45° = \frac{\sin 45°}{\cos 45°} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Поскольку мы делим число само на себя (и это число не равно нулю), результат равен 1.

Таким образом, оба способа показывают, что $\tg 45° = 1$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: 1.

4. Чему равен ctg 30°:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. B. 1. C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. D. $\sqrt{3}$?

Для нахождения значения котангенса угла $30^\circ$ можно воспользоваться определением котангенса через синус и косинус.

Определение котангенса:
$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $

Значения синуса и косинуса для угла $30^\circ$ являются стандартными тригонометрическими значениями:
$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $
$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим эти значения в формулу для котангенса:
$ \text{ctg}(30^\circ) = \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} $

При делении дроби на дробь, мы умножаем числитель на перевернутый знаменатель:
$ \text{ctg}(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3} $

Таким образом, котангенс $30^\circ$ равен $\sqrt{3}$. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: $ \sqrt{3} $

5. Для какого угла $\alpha$ $\sin\alpha = \cos\alpha$:

A. 30$^\circ$.

B. 45$^\circ$.

C. 60$^\circ$.

D. Ни для какого?

Для решения задачи необходимо найти угол $\alpha$, для которого выполняется равенство $sin\alpha = cos\alpha$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Аналитическое решение уравнения

Разделим обе части уравнения $sin\alpha = cos\alpha$ на $cos\alpha$. Это преобразование возможно, если $cos\alpha \neq 0$. Если предположить, что $cos\alpha = 0$ (это соответствует углам $\alpha = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — целое число), то $sin\alpha$ будет равен $1$ или $-1$. В этом случае равенство $sin\alpha = cos\alpha$ примет вид $1 = 0$ или $-1 = 0$, что является неверным. Следовательно, $cos\alpha$ не может быть равен нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения.

$\frac{sin\alpha}{cos\alpha} = 1$

Используя определение тангенса, согласно которому $tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, получаем:

$tan\alpha = 1$

Решением этого уравнения для острого угла (угла в первой четверти) является $\alpha = 45^\circ$.

Способ 2: Проверка предложенных вариантов

Можно поочередно подставить значения углов из вариантов ответа в исходное равенство.

A. 30°

Для угла $\alpha = 30^\circ$ имеем: $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, этот вариант не является решением.

B. 45°

Для угла $\alpha = 45^\circ$ имеем: $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равенство выполняется. Этот вариант является правильным.

C. 60°

Для угла $\alpha = 60^\circ$ имеем: $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, этот вариант не является решением.

D. Ни для какого?

Этот вариант неверен, так как мы нашли угол ($\alpha = 45^\circ$), для которого равенство выполняется.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: B. 45°.

6. Для какого угла $ \alpha \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha $:

A. $30^\circ$.

B. $45^\circ$.

C. $60^\circ$.

D. Ни для какого?

Чтобы найти угол $ \alpha $, для которого выполняется равенство $ \tg\alpha = \ctg\alpha $, преобразуем данное уравнение. Воспользуемся определением котангенса через тангенс: $ \ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} $. Это определение справедливо для всех углов, для которых $ \tg\alpha \ne 0 $.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$ \tg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} $

Умножим обе части уравнения на $ \tg\alpha $:

$ \tg^2\alpha = 1 $

Отсюда следует, что $ \tg\alpha = 1 $ или $ \tg\alpha = -1 $.

Все предложенные варианты ответов ($ 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ $) являются острыми углами, которые находятся в первой координатной четверти (от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $). В этой четверти тангенс всегда положителен. Следовательно, мы ищем угол, для которого $ \tg\alpha = 1 $.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

A. 30°
Значение $ \tg(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Это не равно 1.

B. 45°
Значение $ \tg(45^\circ) = 1 $. Это соответствует найденному нами условию. Для проверки: $ \ctg(45^\circ) $ также равен 1, поэтому равенство $ 1=1 $ выполняется.

C. 60°
Значение $ \tg(60^\circ) = \sqrt{3} $. Это не равно 1.

D. Ни для какого?
Этот вариант неверен, так как мы нашли подходящий угол $ 45^\circ $.

Таким образом, единственным углом из предложенных, удовлетворяющим условию, является $ 45^\circ $.

Ответ: B. 45°.

7. Для какого угла $\alpha \sin \alpha = \tan \alpha$:

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. Ни для какого?

Для того чтобы определить, для какого угла $α$ выполняется равенство $sinα = tgα$, необходимо решить данное тригонометрическое уравнение. Также можно проверить каждый из предложенных вариантов.

Аналитическое решение уравнения:

Исходное уравнение:

$sinα = tgα$

Воспользуемся определением тангенса: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$. Заметим, что это определение имеет смысл только при $cosα \neq 0$, то есть при $α \neq 90° + 180°n$, где $n$ — целое число.

Подставим определение тангенса в уравнение:

$sinα = \frac{sinα}{cosα}$

Перенесем все члены в левую часть:

$sinα - \frac{sinα}{cosα} = 0$

Вынесем общий множитель $sinα$ за скобки:

$sinα(1 - \frac{1}{cosα}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $sinα = 0$. Это верно для всех углов $α = 180° \cdot n$, где $n$ — любое целое число (например, $0°, 180°, 360°$ и т.д.). Для этих углов $cosα$ равен $1$ или $-1$, так что условие $cosα \neq 0$ выполняется.

2. $1 - \frac{1}{cosα} = 0$. Отсюда следует, что $\frac{1}{cosα} = 1$, что равносильно $cosα = 1$. Это верно для углов $α = 360° \cdot n$, где $n$ — любое целое число. Эти значения являются подмножеством решений из первого случая.

Таким образом, решения у уравнения есть, и это все углы вида $α = 180° \cdot n$.

Проверка предложенных вариантов:

Теперь проверим, совпадает ли какой-либо из предложенных углов с найденными решениями.

A. 30°

Для угла $α = 30°$: $sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Равенство не выполняется, так как $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. 45°

Для угла $α = 45°$: $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $tg(45°) = 1$. Равенство не выполняется, так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$.

C. 60°

Для угла $α = 60°$: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $tg(60°) = \sqrt{3}$. Равенство не выполняется, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \sqrt{3}$.

D. Ни для какого?

Ни один из углов, предложенных в вариантах A, B, C, не является решением уравнения. Хотя решения существуют (например, $0°$), они не перечислены в вариантах. Следовательно, в контексте этого вопроса правильным является вариант D, который означает "ни для какого из предложенных углов".

Ответ: D. Ни для какого?

8. Для какого угла $\alpha \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha$:

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. Ни для какого?

Для того чтобы определить, для какого угла $α$ выполняется равенство $cosα = ctgα$, решим это тригонометрическое уравнение.

Сначала преобразуем уравнение, используя определение котангенса: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$. Важно отметить, что данное выражение определено только при $sinα \neq 0$, то есть при $α \neq 180° \cdot n$, где $n$ — любое целое число.

Подставим определение в исходное уравнение:

$cosα = \frac{cosα}{sinα}$

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы решить уравнение:

$cosα - \frac{cosα}{sinα} = 0$

Вынесем общий множитель $cosα$ за скобку:

$cosα \left(1 - \frac{1}{sinα}\right) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $cosα = 0$. Это уравнение имеет решения $α = 90° + 180° \cdot n$. При этих углах $sinα$ равен $1$ или $-1$, что не противоречит нашему условию $sinα \neq 0$.

2. $1 - \frac{1}{sinα} = 0$. Это уравнение равносильно уравнению $sinα = 1$, решения которого $α = 90° + 360° \cdot n$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы видим, что общее решение уравнения $cosα = ctgα$ — это $α = 90° + 180° \cdot n$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A. 30°. Этот угол не входит в серию решений $90° + 180° \cdot n$. Проверим прямой подстановкой: $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $ctg(30°) = \sqrt{3}$. Равенство $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ неверно.

B. 45°. Этот угол также не является решением. Проверим: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $ctg(45°) = 1$. Равенство $\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ неверно.

C. 60°. И этот угол не является решением. Проверим: $cos(60°) = \frac{1}{2}$, а $ctg(60°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ неверно.

D. Ни для какого?. Поскольку ни один из предложенных конкретных углов (30°, 45°, 60°) не удовлетворяет исходному уравнению, данный вариант является правильным.

Ответ: D. Ни для какого?