Номер 7, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Для какого угла $\alpha \sin \alpha = \tan \alpha$:

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. Ни для какого?

Для того чтобы определить, для какого угла $α$ выполняется равенство $sinα = tgα$, необходимо решить данное тригонометрическое уравнение. Также можно проверить каждый из предложенных вариантов.

Аналитическое решение уравнения:

Исходное уравнение:

$sinα = tgα$

Воспользуемся определением тангенса: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$. Заметим, что это определение имеет смысл только при $cosα \neq 0$, то есть при $α \neq 90° + 180°n$, где $n$ — целое число.

Подставим определение тангенса в уравнение:

$sinα = \frac{sinα}{cosα}$

Перенесем все члены в левую часть:

$sinα - \frac{sinα}{cosα} = 0$

Вынесем общий множитель $sinα$ за скобки:

$sinα(1 - \frac{1}{cosα}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $sinα = 0$. Это верно для всех углов $α = 180° \cdot n$, где $n$ — любое целое число (например, $0°, 180°, 360°$ и т.д.). Для этих углов $cosα$ равен $1$ или $-1$, так что условие $cosα \neq 0$ выполняется.

2. $1 - \frac{1}{cosα} = 0$. Отсюда следует, что $\frac{1}{cosα} = 1$, что равносильно $cosα = 1$. Это верно для углов $α = 360° \cdot n$, где $n$ — любое целое число. Эти значения являются подмножеством решений из первого случая.

Таким образом, решения у уравнения есть, и это все углы вида $α = 180° \cdot n$.

Проверка предложенных вариантов:

Теперь проверим, совпадает ли какой-либо из предложенных углов с найденными решениями.

A. 30°

Для угла $α = 30°$: $sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Равенство не выполняется, так как $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. 45°

Для угла $α = 45°$: $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $tg(45°) = 1$. Равенство не выполняется, так как $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$.

C. 60°

Для угла $α = 60°$: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $tg(60°) = \sqrt{3}$. Равенство не выполняется, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \sqrt{3}$.

D. Ни для какого?

Ни один из углов, предложенных в вариантах A, B, C, не является решением уравнения. Хотя решения существуют (например, $0°$), они не перечислены в вариантах. Следовательно, в контексте этого вопроса правильным является вариант D, который означает "ни для какого из предложенных углов".

Ответ: D. Ни для какого?