Номер 1, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равен $\sin 60^\circ$:

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Для нахождения значения $\sin 60^\circ$, которое является одним из основных тригонометрических значений, можно воспользоваться геометрическим методом. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$.

Такой треугольник можно получить, разделив равносторонний треугольник высотой пополам. Возьмем равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Все его углы равны $60^\circ$. Проведем высоту из одной из вершин к основанию. Эта высота разделит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Его характеристики:
• гипотенуза равна стороне равностороннего треугольника, то есть 2;
• катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$ (половина основания), равен 1;
• второй катет, который является высотой, найдем по теореме Пифагора: $h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$, следовательно, $h = \sqrt{3}$.
Этот катет с длиной $\sqrt{3}$ лежит напротив угла в $60^\circ$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла в $60^\circ$ получаем:
$\sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:
A.$\frac{1}{2}$. Это значение $\sin 30^\circ$ или $\cos 60^\circ$. Неверно.
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение $\tan 30^\circ$. Неверно.
C.$\sqrt{3}$. Это значение $\tan 60^\circ$. Неверно.
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это верное значение для $\sin 60^\circ$.

Ответ: D.