Номер 2, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Чему равен $cos 30^\circ$:

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Для решения задачи необходимо найти значение $cos(30°)$. Это одна из основных величин в тригонометрии, и ее значение можно определить несколькими способами.

Способ 1: Геометрический метод (через прямоугольный треугольник)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами $30°$ и $60°$. Согласно свойствам такого треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Обозначим длину этого катета как $x$. Тогда длина гипотенузы будет равна $2x$.

2. Найдем длину второго катета, который прилегает к углу в $30°$. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Пусть искомый катет — это $b$.

$b^2 + x^2 = (2x)^2$

$b^2 + x^2 = 4x^2$

$b^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2$

$b = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$

3. По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

$cos(30°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x\sqrt{3}}{2x}$

4. Сокращая $x$ в числителе и знаменателе, получаем:

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрической таблицы

Значение косинуса для стандартных углов ($30°$, $45°$, $60°$) является табличным. Из тригонометрической таблицы известно, что $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа:

A. $\frac{1}{2}$. Это значение равно $sin(30°)$ или $cos(60°)$. Вариант неверный.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значение равно $tg(30°)$. Вариант неверный.

C. $\sqrt{3}$. Это значение равно $tg(60°)$. Вариант неверный.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот вариант совпадает с результатом наших вычислений. Вариант верный.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$