Номер 3, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Чему равен $tg 45^\circ$:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$. B. $1$. C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$. D. $\sqrt{3}$ ?

Для нахождения значения тангенса угла 45° ($\tg 45°$) можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Через определение в прямоугольном треугольнике

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 45°. Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180°, второй острый угол также будет равен $180° - 90° - 45° = 45°$.

Треугольник с двумя равными углами является равнобедренным. В нашем случае это означает, что катеты (стороны, лежащие напротив равных углов) равны между собой.

Обозначим длину каждого катета буквой $a$.

Теперь применим определение тангенса для угла в 45°:
$\tg 45° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$

Способ 2: Через тригонометрическое тождество

Значение тангенса угла можно вычислить через отношение синуса этого угла к его косинусу, используя формулу:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Значения синуса и косинуса для угла 45° являются стандартными табличными значениями:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу:
$\tg 45° = \frac{\sin 45°}{\cos 45°} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Поскольку мы делим число само на себя (и это число не равно нулю), результат равен 1.

Таким образом, оба способа показывают, что $\tg 45° = 1$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B.

Ответ: 1.