Номер 8, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Для какого угла $\alpha \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha$:

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. Ни для какого?

Для того чтобы определить, для какого угла $α$ выполняется равенство $cosα = ctgα$, решим это тригонометрическое уравнение.

Сначала преобразуем уравнение, используя определение котангенса: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$. Важно отметить, что данное выражение определено только при $sinα \neq 0$, то есть при $α \neq 180° \cdot n$, где $n$ — любое целое число.

Подставим определение в исходное уравнение:

$cosα = \frac{cosα}{sinα}$

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы решить уравнение:

$cosα - \frac{cosα}{sinα} = 0$

Вынесем общий множитель $cosα$ за скобку:

$cosα \left(1 - \frac{1}{sinα}\right) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. $cosα = 0$. Это уравнение имеет решения $α = 90° + 180° \cdot n$. При этих углах $sinα$ равен $1$ или $-1$, что не противоречит нашему условию $sinα \neq 0$.

2. $1 - \frac{1}{sinα} = 0$. Это уравнение равносильно уравнению $sinα = 1$, решения которого $α = 90° + 360° \cdot n$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы видим, что общее решение уравнения $cosα = ctgα$ — это $α = 90° + 180° \cdot n$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов:

A. 30°. Этот угол не входит в серию решений $90° + 180° \cdot n$. Проверим прямой подстановкой: $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $ctg(30°) = \sqrt{3}$. Равенство $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ неверно.

B. 45°. Этот угол также не является решением. Проверим: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $ctg(45°) = 1$. Равенство $\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ неверно.

C. 60°. И этот угол не является решением. Проверим: $cos(60°) = \frac{1}{2}$, а $ctg(60°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Равенство $\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ неверно.

D. Ни для какого?. Поскольку ни один из предложенных конкретных углов (30°, 45°, 60°) не удовлетворяет исходному уравнению, данный вариант является правильным.

Ответ: D. Ни для какого?