Номер 12, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, угол A равен $45^\circ$, $AC = 2$.

Найдите высоту $CH$:

A. 1.

B. $\sqrt{2}$.

C. 2.

D. $\sqrt{3}$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Также известно, что $\angle A = 45^\circ$, а длина катета $AC$ равна 2. Необходимо найти длину высоты $CH$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Шаг 1: Определение свойств треугольника ABC.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник $ABC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC = 2$.

Шаг 2: Рассмотрение треугольника ACH.
Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ACH$ является прямоугольным.
В треугольнике $ACH$ нам известны:

• гипотенуза $AC = 2$;
• острый угол $\angle A = 45^\circ$;
• катет $CH$, который нам нужно найти, лежит напротив угла $A$.

Шаг 3: Вычисление длины высоты CH.
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Применим это определение для треугольника $ACH$:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$
Выразим отсюда искомую высоту $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$
Подставим известные значения в формулу:
$CH = 2 \cdot \sin(45^\circ)$
Значение синуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$CH = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Длина высоты $CH$ равна $\sqrt{2}$. Сравнивая результат с вариантами ответов, мы видим, что это соответствует варианту B.

Ответ: $\sqrt{2}$.