Номер 15, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. tg A = $\frac{3}{4}$. Найдите sin A:
A. $\frac{3}{5}$.
B. $\frac{4}{5}$.
C. $\frac{4}{3}$.
D. $\frac{5}{4}$.

Для решения данной задачи можно использовать два основных способа.

Способ 1: Использование тригонометрических тождеств

Мы знаем тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.

Подставим в это тождество известное значение $\text{tg} A = \frac{3}{4}$:

$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 A}$

Выполним вычисления:

$1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

$\frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

$\frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

Из этого уравнения находим $\cos^2 A$:

$\cos^2 A = \frac{16}{25}$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Выразим из него $\sin^2 A$ и подставим найденное значение $\cos^2 A$:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Теперь найдем $\sin A$, извлекая квадратный корень:

$\sin A = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Поскольку значение $\text{tg} A = \frac{3}{4}$ положительно, угол $A$ находится либо в I, либо в III координатной четверти. В школьном курсе геометрии углы в треугольнике острые, поэтому их тригонометрические функции положительны. Следовательно, мы выбираем положительное значение.

$\sin A = \frac{3}{5}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где $A$ — один из острых углов.

По определению, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$\text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{4}$

Пусть длина противолежащего катета равна 3, а длина прилежащего катета равна 4.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:

$\text{гипотенуза}^2 = (\text{противолежащий катет})^2 + (\text{прилежащий катет})^2$

$\text{гипотенуза}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$\text{гипотенуза} = \sqrt{25} = 5$

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который соответствует варианту A.

Ответ: $\frac{3}{5}$