Номер 5, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Для какого угла $\alpha$ $\sin\alpha = \cos\alpha$:

A. 30$^\circ$.

B. 45$^\circ$.

C. 60$^\circ$.

D. Ни для какого?

Для решения задачи необходимо найти угол $\alpha$, для которого выполняется равенство $sin\alpha = cos\alpha$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Аналитическое решение уравнения

Разделим обе части уравнения $sin\alpha = cos\alpha$ на $cos\alpha$. Это преобразование возможно, если $cos\alpha \neq 0$. Если предположить, что $cos\alpha = 0$ (это соответствует углам $\alpha = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n$ — целое число), то $sin\alpha$ будет равен $1$ или $-1$. В этом случае равенство $sin\alpha = cos\alpha$ примет вид $1 = 0$ или $-1 = 0$, что является неверным. Следовательно, $cos\alpha$ не может быть равен нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения.

$\frac{sin\alpha}{cos\alpha} = 1$

Используя определение тангенса, согласно которому $tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, получаем:

$tan\alpha = 1$

Решением этого уравнения для острого угла (угла в первой четверти) является $\alpha = 45^\circ$.

Способ 2: Проверка предложенных вариантов

Можно поочередно подставить значения углов из вариантов ответа в исходное равенство.

A. 30°

Для угла $\alpha = 30^\circ$ имеем: $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, этот вариант не является решением.

B. 45°

Для угла $\alpha = 45^\circ$ имеем: $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равенство выполняется. Этот вариант является правильным.

C. 60°

Для угла $\alpha = 60^\circ$ имеем: $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$, этот вариант не является решением.

D. Ни для какого?

Этот вариант неверен, так как мы нашли угол ($\alpha = 45^\circ$), для которого равенство выполняется.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: B. 45°.