Номер 12, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Измерение углов и расстояний на местности. Практические задачи на нахождение расстояний и углов (www.math.ru).

Измерение расстояний и углов на местности является одной из важнейших практических задач геометрии. Когда прямое измерение невозможно (например, нужно измерить ширину реки, высоту дерева или расстояние до недоступного объекта), на помощь приходят методы тригонометрии. Основной принцип заключается в построении на местности воображаемых треугольников, измерении в них тех элементов, которые доступны (обычно это одна сторона, называемая базисом, и несколько углов), и последующем вычислении неизвестных сторон или углов с помощью тригонометрических соотношений.

Для измерения углов на местности используют специальные приборы, такие как теодолит или астролябия. Простейшие угломерные инструменты можно изготовить и самостоятельно. Расстояния (базис) измеряют рулеткой или лазерным дальномером.

Рассмотрим несколько типовых практических задач.

Задача 1: Определение высоты объекта

Условие: Необходимо найти высоту дерева (или любого другого вертикального объекта), основание которого доступно.

Решение: Пусть $BC$ — это высота дерева, которую нужно найти. Мы можем подойти к основанию дерева в точке $C$.

1. На некотором расстоянии от основания дерева $C$ выберем точку $A$ на земле. Измерим расстояние $AC$ с помощью рулетки. Это будет наш базис. Обозначим его $d$.

2. Из точки $A$ измерим угол подъема до вершины дерева $B$. Это угол $\angle CAB$, обозначим его $\alpha$.

3. Будем считать, что дерево растет перпендикулярно земле, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ искомая высота $h = BC$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а измеренное расстояние $d = AC$ — прилежащим катетом. Их связывает тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{h}{d}$

5. Из этой формулы выражаем высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(\alpha)$

6. Если угол измеряется не с уровня земли, а с некоторой высоты (например, с высоты роста наблюдателя), то эту высоту нужно прибавить к полученному значению $h$.

Пример: Пусть мы отошли от дерева на расстояние $d = 20$ м и измерили угол подъема к его вершине, который оказался равен $\alpha = 30^\circ$. Измерение проводилось с высоты 1.6 м.
Высота дерева $h_{часть} = 20 \cdot \tan(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 20 \cdot 0.577 = 11.54$ м.
Полная высота дерева: $H = h_{часть} + 1.6 \text{ м} = 11.54 + 1.6 = 13.14$ м.

Ответ: Высоту объекта можно найти по формуле $h = d \cdot \tan(\alpha)$, где $d$ — расстояние до основания объекта, а $\alpha$ — угол подъема к его вершине. К полученному результату необходимо прибавить высоту, с которой производилось измерение угла.

Задача 2: Определение расстояния до недоступной точки

Условие: Найти расстояние от точки $A$ на берегу реки до точки $C$ на другом берегу.

Решение: Прямое измерение невозможно, так как нас разделяет река.

1. На своем берегу выберем вторую точку $B$ на некотором расстоянии от точки $A$. Измерим расстояние $AB$. Это наш базис, обозначим его $c$.

2. Из точки $A$ измерим угол $\angle CAB$, который мы обозначим как $\alpha$.

3. Из точки $B$ измерим угол $\angle CBA$, который мы обозначим как $\beta$.

4. Теперь у нас есть треугольник $ABC$, в котором известна сторона $c$ и два прилежащих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Искомое расстояние — это сторона $AC$, которую мы обозначим как $b$.

5. Найдем третий угол треугольника: $\angle ACB = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

6. Для нахождения стороны $b$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

7. Выразим отсюда искомую сторону $b$:

$b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Поскольку $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, формулу можно упростить: $b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Пример: Пусть расстояние между точками $A$ и $B$ на берегу равно $c = 100$ м. Измеренные углы: $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 50^\circ$.
Найдем третий угол: $\gamma = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем расстояние $AC = b$ по теореме синусов:
$b = \frac{100 \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(60^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.766}{0.866} \approx 88.45$ м.

Ответ: Расстояние до недоступной точки $b$ находится по формуле $b = \frac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$, где $c$ — длина базиса, а $\alpha$ и $\beta$ — углы, измеренные из концов базиса на недоступную точку.

Задача 3: Определение расстояния между двумя недоступными точками

Условие: Найти расстояние между двумя объектами $C$ и $D$, находящимися на другом берегу реки.

Решение: Это более сложная задача, решаемая в несколько этапов.

1. Как и в предыдущей задаче, на своем берегу выбираем базис $AB$ и измеряем его длину $d$.

2. Из точки $A$ измеряем углы до обеих недоступных точек: $\angle CAB = \alpha_1$ и $\angle DAB = \alpha_2$.

3. Из точки $B$ также измеряем углы до обеих недоступных точек: $\angle CBA = \beta_1$ и $\angle DBA = \beta_2$.

4. Наша цель — найти длину отрезка $CD$. Для этого мы найдем длины сторон $AC$ и $AD$ в треугольнике $ACD$, а также угол между ними $\angle CAD$.

5. Рассматриваем треугольник $ABC$. Как в Задаче 2, находим сторону $AC$:
$\angle ACB = 180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1)$.
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\angle ACB)} = \frac{d \cdot \sin(\beta_1)}{\sin(\alpha_1 + \beta_1)}$.

6. Рассматриваем треугольник $ABD$. Аналогично находим сторону $AD$:
$\angle ADB = 180^\circ - (\alpha_2 + \beta_2)$.
$AD = \frac{AB \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{d \cdot \sin(\beta_2)}{\sin(\alpha_2 + \beta_2)}$.

7. Теперь у нас есть две стороны треугольника $ACD$. Угол между ними $\angle CAD$ можно легко найти из наших измерений: $\angle CAD = |\alpha_2 - \alpha_1|$.

8. Зная две стороны ($AC$ и $AD$) и угол между ними ($\angle CAD$), мы можем найти искомую сторону $CD$ по теореме косинусов:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(|\alpha_2 - \alpha_1|)}$

Пример: Пусть базис $AB = d = 100$ м. Измеренные углы: $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 50^\circ$, $\beta_1 = 110^\circ$, $\beta_2 = 40^\circ$.
Находим $AC$ из $\triangle ABC$: $AC = \frac{100 \cdot \sin(110^\circ)}{\sin(30^\circ+110^\circ)} = \frac{100 \cdot \sin(110^\circ)}{\sin(140^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.940}{0.643} \approx 146.2$ м.
Находим $AD$ из $\triangle ABD$: $AD = \frac{100 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(50^\circ+40^\circ)} = \frac{100 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(90^\circ)} \approx \frac{100 \cdot 0.643}{1} = 64.3$ м.
Находим угол $\angle CAD = |50^\circ - 30^\circ| = 20^\circ$.
Находим $CD$ по теореме косинусов:
$CD^2 \approx 146.2^2 + 64.3^2 - 2 \cdot 146.2 \cdot 64.3 \cdot \cos(20^\circ)$
$CD^2 \approx 21374 + 4134 - 18802 \cdot 0.940 \approx 25508 - 17674 = 7834$
$CD \approx \sqrt{7834} \approx 88.5$ м.

Ответ: Расстояние между двумя недоступными точками $C$ и $D$ находится путем последовательного применения теорем синусов (для нахождения расстояний от точек базиса до недоступных точек) и косинусов (для нахождения искомого расстояния в конечном треугольнике).

Множество подобных задач, а также их наглядные анимированные решения, можно найти на образовательном портале «Математические этюды», который является преемником сайта www.math.ru, указанного в вопросе.