Номер 5, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол $60^\circ$. Длина $AB$ маятника равна $20$ см (рис. $18.5$). Найдите расстояние $CD$ от груза $C$ до прямой $AB$, проходящей через начальное положение маятника.

Рис. 18.5

Согласно условию задачи, маятник представляет собой груз, подвешенный на нитке. В положении равновесия нить занимает вертикальное положение $AB$. Маятник отклоняют на угол $60^\circ$, и он занимает положение $AC$. Длина нити маятника не изменяется, поэтому $AC = AB = 20$ см.

Требуется найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. На рисунке этот перпендикуляр обозначен отрезком $CD$. Таким образом, $\angle ADC = 90^\circ$, и треугольник $ADC$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известны:

• Гипотенуза $AC$, которая равна длине нити маятника: $AC = 20$ см.
• Острый угол $\angle CAD$, который равен углу отклонения маятника: $\angle CAD = 60^\circ$.

Искомая величина — это длина катета $CD$, который является противолежащим углу $\angle CAD$.

Для нахождения противолежащего катета в прямоугольном треугольнике можно использовать синус угла. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $CD$:

$CD = AC \cdot \sin(\angle CAD)$

Подставим известные значения в формулу:

$AC = 20$ см

$\angle CAD = 60^\circ$

$CD = 20 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выполним вычисления:

$CD = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.