Номер 3, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Грибник, войдя в лес, в течение двух часов шел в направлении на север, затем с той же скоростью в течение полутора часов — на восток (рис. 18.3). Под каким углом к направлению на юг он должен идти, чтобы вернуться к месту, где он вошел в лес? (В ответе укажите целое число градусов.)

Рис. 18.3

3. Для решения задачи представим путь грибника в виде последовательных перемещений, которые можно изобразить на координатной плоскости. Пусть начальная точка (вход в лес) находится в начале координат O(0,0).

1. Грибник шел на север в течение 2 часов. Пусть его скорость равна $v$. Тогда он прошел расстояние $s_1 = 2 \cdot v$. Это перемещение можно представить как вектор, направленный вдоль оси Y, от точки O до точки A. Координаты точки A будут $(0, 2v)$.

2. Затем он шел на восток в течение 1,5 часов с той же скоростью $v$. Расстояние, которое он прошел, равно $s_2 = 1.5 \cdot v$. Это перемещение можно представить как вектор, направленный от точки A параллельно оси X, до точки B. Координаты точки B будут $(1.5v, 2v)$.

Путь грибника (отрезки OA и AB) и путь для возвращения (отрезок BO) образуют прямоугольный треугольник OAB, где $\angle A = 90^\circ$, так как направления на север и на восток перпендикулярны. Длины катетов этого треугольника пропорциональны времени движения: $OA = 2v$ и $AB = 1.5v$.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти угол, под которым грибник должен идти из точки B, чтобы вернуться в точку O, относительно направления на юг. Направление на юг из любой точки параллельно оси Y и направлено в отрицательную сторону.

Искомый угол $\gamma$ (как показано на рисунке в условии) — это угол между вектором возвращения $\vec{BO}$ и направлением на юг.

Рассмотрим треугольник OAB. Прямая, соответствующая направлению на юг из точки B, параллельна катету OA (который лежит на оси север-юг). Прямая BO является секущей для этих двух параллельных линий. Следовательно, искомый угол $\gamma$ и угол при вершине O треугольника OAB ($\angle AOB$) являются накрест лежащими углами, а значит, они равны: $\gamma = \angle AOB$.

Мы можем найти тангенс угла $\angle AOB$ в прямоугольном треугольнике OAB:$ \tan(\angle AOB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OA} $

Подставим длины катетов (скорость $v$ сокращается):$ \tan(\gamma) = \tan(\angle AOB) = \frac{1.5v}{2v} = \frac{1.5}{2} = 0.75 $

Чтобы найти величину угла $\gamma$ в градусах, вычислим арктангенс этого значения:$ \gamma = \arctan(0.75) \approx 36.8698...^\circ $

В условии требуется указать целое число градусов, поэтому округлим полученное значение до ближайшего целого:$ 36.87^\circ \approx 37^\circ $

Ответ: 37