Номер 4, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол $60^\circ$. Длина AC маятника равна $20 \text{ см}$ (рис. 18.4). На сколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия?

Рис. 18.4

Для решения задачи воспользуемся геометрическим подходом. Пусть $L$ — это длина нити маятника, которая является постоянной величиной. В положении равновесия (точка B) и в отклоненном положении (точка C) длина нити одинакова: $AB = AC = L = 20$ см. Угол отклонения от вертикали составляет $α = 60°$.

Изменение высоты груза $h$ — это вертикальное смещение, равное разности высот точек B и C. На схеме это соответствует длине отрезка DB. Чтобы найти $h$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ADC, образованный нитью маятника AC (гипотенуза), вертикалью AD и горизонтальным отрезком CD. Угол при вершине A в этом треугольнике равен углу отклонения $α$.

Высота $h$ может быть вычислена как разность между полной длиной нити $AB$ и длиной вертикальной проекции нити $AD$:

$h = DB = AB - AD$

Длину катета $AD$ можно найти из треугольника ADC, используя тригонометрическую функцию косинуса, так как $AD$ является катетом, прилежащим к углу $α$:

$cos(α) = \frac{AD}{AC}$

Отсюда выражаем $AD$:

$AD = AC \cdot cos(α)$

Подставим известные значения в формулу: $AC = 20$ см и $α = 60°$.

$AD = 20 \text{ см} \cdot cos(60°)$

Зная, что $cos(60°) = \frac{1}{2} = 0.5$, получаем:

$AD = 20 \cdot 0.5 = 10$ см.

Теперь мы можем найти искомое изменение высоты $h$:

$h = AB - AD = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10$ см.

Ответ: 10 см.