Номер 18, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что для острых углов A имеют место равенства: $\sin (90^\circ + A) = \cos A, \cos (90^\circ + A) = - \sin A.$

Для доказательства данных равенств, которые являются формулами приведения, воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса. Условие, что угол A острый ($0^\circ < A < 90^\circ$), гарантирует, что все тригонометрические функции для него определены.

Формулы сложения имеют следующий вид:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Также нам потребуются значения тригонометрических функций для угла $90^\circ$:

$sin(90^\circ) = 1$

$cos(90^\circ) = 0$

sin(90° + A) = cos A

Применим формулу синуса суммы, подставив в нее $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = A$:

$sin(90^\circ + A) = sin(90^\circ)cos(A) + cos(90^\circ)sin(A)$

Теперь подставим известные значения $sin(90^\circ) = 1$ и $cos(90^\circ) = 0$ в правую часть выражения:

$sin(90^\circ + A) = (1) \cdot cos(A) + (0) \cdot sin(A)$

Упрощая, получаем:

$sin(90^\circ + A) = cos(A) + 0 = cos(A)$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $sin(90^\circ + A) = cos A$ доказано.

cos(90° + A) = -sin A

Применим формулу косинуса суммы, подставив в нее $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = A$:

$cos(90^\circ + A) = cos(90^\circ)cos(A) - sin(90^\circ)sin(A)$

Подставим известные значения $sin(90^\circ) = 1$ и $cos(90^\circ) = 0$ в правую часть выражения:

$cos(90^\circ + A) = (0) \cdot cos(A) - (1) \cdot sin(A)$

Упрощая, получаем:

$cos(90^\circ + A) = 0 - sin(A) = -sin(A)$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $cos(90^\circ + A) = -sin A$ доказано.