Номер 12, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Расположите в порядке возрастания котангенсы углов: $60^\circ$; $120^\circ$; $135^\circ$; $150^\circ$.

Чтобы расположить котангенсы заданных углов в порядке возрастания, необходимо вычислить их значения или проанализировать поведение функции котангенса.

Способ 1: Вычисление и сравнение значений

Сначала найдем значение котангенса для каждого из углов.

1. Для угла 60°. Этот угол находится в первой четверти. Значение является табличным: $ \ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

2. Для угла 120°. Этот угол находится во второй четверти, где значения котангенса отрицательны. Используя формулы приведения, получаем: $ \ctg(120^\circ) = \ctg(180^\circ - 60^\circ) = -\ctg(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

3. Для угла 135°. Этот угол также находится во второй четверти. По формулам приведения: $ \ctg(135^\circ) = \ctg(180^\circ - 45^\circ) = -\ctg(45^\circ) = -1 $.

4. Для угла 150°. Угол из второй четверти. По формулам приведения: $ \ctg(150^\circ) = \ctg(180^\circ - 30^\circ) = -\ctg(30^\circ) = -\sqrt{3} $.

Теперь у нас есть четыре числа: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ -1 $ и $ -\sqrt{3} $. Нам нужно расположить их в порядке возрастания.

Для удобства сравнения можно использовать их приблизительные значения, зная, что $ \sqrt{3} \approx 1.732 $:

$ \ctg(150^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732 $

$ \ctg(135^\circ) = -1 $

$ \ctg(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 $

$ \ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 $

Сравнивая эти числа, мы видим, что самое маленькое (наиболее отрицательное) из них это $ -\sqrt{3} $, а самое большое (единственное положительное) — $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Расположим их в порядке возрастания:

$ -\sqrt{3} < -1 < -\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3} $

Соответственно, порядок котангенсов будет таким:

$ \ctg(150^\circ) < \ctg(135^\circ) < \ctg(120^\circ) < \ctg(60^\circ) $.

Способ 2: Использование свойств функции котангенса

Функция $ y = \ctg(x) $ является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение котангенса.

Расположим заданные углы в порядке возрастания:

$ 60^\circ < 120^\circ < 135^\circ < 150^\circ $.

Поскольку все эти углы лежат в интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $, и на этом интервале функция котангенса убывает, то для значений котангенсов будет выполняться обратное неравенство:

$ \ctg(60^\circ) > \ctg(120^\circ) > \ctg(135^\circ) > \ctg(150^\circ) $.

Это порядок убывания. Для того чтобы получить порядок возрастания, нам нужно записать эту последовательность в обратном порядке.

Ответ: $ \ctg(150^\circ), \ctg(135^\circ), \ctg(120^\circ), \ctg(60^\circ) $.