Номер 8, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Чему равен котангенс:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$?

Для нахождения значений котангенса углов, находящихся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$), можно использовать формулы приведения. Одна из основных формул приведения для котангенса: $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$. Также можно использовать определение котангенса через синус и косинус: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Во второй четверти косинус отрицателен, а синус положителен, поэтому котангенс имеет отрицательное значение.

а) Найдем котангенс $120^\circ$.
Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(120^\circ) = \cot(180^\circ - 60^\circ) = -\cot(60^\circ)$.
Значение $\cot(60^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$).
Таким образом, $\cot(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Найдем котангенс $135^\circ$.
Представим угол $135^\circ$ как разность $180^\circ - 45^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(135^\circ) = \cot(180^\circ - 45^\circ) = -\cot(45^\circ)$.
Табличное значение $\cot(45^\circ)$ равно $1$.
Следовательно, $\cot(135^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Найдем котангенс $150^\circ$.
Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(150^\circ) = \cot(180^\circ - 30^\circ) = -\cot(30^\circ)$.
Табличное значение $\cot(30^\circ)$ равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\cot(150^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.