Номер 10, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Расположите в порядке возрастания косинусы углов: 60°; 90°; 135°; 150°.

Чтобы расположить косинусы углов в порядке возрастания, необходимо найти значения косинусов для каждого угла и затем сравнить их.

Вычислим значения косинусов для заданных углов:

1. $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

2. $ \cos(90^\circ) = 0 $

3. Для угла $135^\circ$, который находится во второй четверти, используем формулу приведения: $ \cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

4. Для угла $150^\circ$, который также находится во второй четверти, используем формулу приведения: $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь у нас есть четыре значения: $ \frac{1}{2} $, $ 0 $, $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Сравним их.

Очевидно, что положительное число $ \frac{1}{2} $ больше нуля, а оба отрицательных числа меньше нуля.Чтобы сравнить $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $, сравним $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $. Так как $ 3 > 2 $, то $ \sqrt{3} > \sqrt{2} $.При умножении на отрицательное число (в нашем случае на $ -\frac{1}{2} $) знак неравенства меняется на противоположный: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, располагая все значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующую последовательность:$ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 < \frac{1}{2} $

Теперь заменим числовые значения на соответствующие им косинусы углов:$ \cos(150^\circ) < \cos(135^\circ) < \cos(90^\circ) < \cos(60^\circ) $

Альтернативное решение:Можно воспользоваться свойством функции $y = \cos(x)$. На промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$ эта функция является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше угол, тем меньше значение его косинуса.Расположим углы в порядке возрастания: $ 60^\circ < 90^\circ < 135^\circ < 150^\circ $.Поскольку функция косинуса убывает на этом интервале, для их косинусов будет выполняться обратное неравенство:$ \cos(60^\circ) > \cos(90^\circ) > \cos(135^\circ) > \cos(150^\circ) $.Записав эту последовательность в порядке возрастания, получим тот же результат.

Ответ: $ \cos(150^\circ), \cos(135^\circ), \cos(90^\circ), \cos(60^\circ) $.