Номер 17, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что для тупых углов A имеют место равенства: $ \text{tg } A = -\text{tg } (180^\circ - A)$; $ \text{ctg } A = -\text{ctg } (180^\circ - A)$.

tg A = -tg(180° - A)

Пусть $A$ — тупой угол, то есть $90^\circ < A < 180^\circ$.
По определению тангенса, $\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
Воспользуемся формулами приведения, которые связывают значения тригонометрических функций для углов $A$ и $180^\circ - A$ (смежных углов):
$\sin A = \sin(180^\circ - A)$
$\cos A = -\cos(180^\circ - A)$
Подставим эти выражения в определение тангенса для угла $A$:
$\text{tg} A = \frac{\sin(180^\circ - A)}{-\cos(180^\circ - A)} = - \frac{\sin(180^\circ - A)}{\cos(180^\circ - A)}$.
Поскольку отношение синуса угла к его косинусу равно тангенсу этого угла, то есть $\frac{\sin(180^\circ - A)}{\cos(180^\circ - A)} = \text{tg}(180^\circ - A)$, мы получаем искомое равенство:
$\text{tg} A = -\text{tg}(180^\circ - A)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

ctg A = -ctg(180° - A)

Доказательство для котангенса проводится аналогично. Пусть $A$ — тупой угол.
По определению котангенса, $\text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}$.
Используем те же самые формулы приведения для смежных углов:
$\cos A = -\cos(180^\circ - A)$
$\sin A = \sin(180^\circ - A)$
Подставим эти выражения в определение котангенса для угла $A$:
$\text{ctg} A = \frac{-\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)} = - \frac{\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)}$.
Так как отношение косинуса угла к его синусу равно котангенсу этого угла, то есть $\frac{\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)} = \text{ctg}(180^\circ - A)$, мы приходим к доказываемому равенству:
$\text{ctg} A = -\text{ctg}(180^\circ - A)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.