Номер 2, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м, затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м (рис. 18.2). Под каким углом к направлению на восток она должна идти, чтобы вернуться домой? (В ответе укажите целое число градусов.)

Рис. 18.2

Для решения задачи представим путь девочки в виде последовательных перемещений в прямоугольной системе координат. Пусть дом находится в начале координат, точка (0, 0). Направим ось X на восток, а ось Y — на север. Тогда запад будет соответствовать отрицательному направлению оси X, а юг — отрицательному направлению оси Y.

1. Первое перемещение: 500 м на запад. Координаты девочки изменяются на (-500, 0). Ее текущее положение: $(-500, 0)$.

2. Второе перемещение: 300 м на север. Координаты изменяются на (0, 300). Ее новое положение: $(-500, 0 + 300) = (-500, 300)$.

3. Третье перемещение: 100 м на восток. Координаты изменяются на (100, 0). Конечное положение девочки: $(-500 + 100, 300) = (-400, 300)$.

Теперь девочке нужно вернуться из точки $(-400, 300)$ в точку $(0, 0)$. Для этого ей необходимо сместиться на вектор с координатами $(0 - (-400), 0 - 300) = (400, -300)$. Это означает, что она должна пройти 400 м на восток и 300 м на юг.

Ее путь домой образует гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются смещения на восток и на юг.

• Катет, направленный на восток (прилежащий к искомому углу), равен 400 м.

• Катет, направленный на юг (противолежащий искомому углу), равен 300 м.

Искомый угол $ \alpha $ — это угол между направлением на восток и направлением ее движения домой. Мы можем найти этот угол с помощью тангенса, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

$ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{300 \text{ м}}{400 \text{ м}} = 0.75 $

Чтобы найти сам угол $ \alpha $, вычислим арктангенс от 0.75:

$ \alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^{\circ} $

В задаче требуется указать целое число градусов. Округляем полученное значение до ближайшего целого:

$ 37^{\circ} $

Ответ: 37