Номер 1, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 400 м, затем повернул на север и прошел 300 м (рис. 18.1). Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? (В ответе укажите целое число градусов.)

Путь мальчика можно представить в виде прямоугольного треугольника. Пусть начальная точка (дом) — это вершина А, точка после движения на восток — вершина В, а конечная точка после движения на север — вершина С. Таким образом, получается прямоугольный треугольник АВС с прямым углом в точке В.
Длины катетов этого треугольника равны:
$AB = 400$ м
$BC = 300$ м
Чтобы вернуться домой, мальчику нужно двигаться из точки С в точку А по гипотенузе СА. Требуется найти угол, который образует его путь (отрезок СА) с направлением на запад.
В точке С направление на запад параллельно отрезку АВ (который соответствует направлению восток-запад). Обозначим искомый угол как $\alpha$. Этот угол (между направлением на запад и гипотенузой СА) является внутренним накрест лежащим с углом $\angle BAC$ при параллельных прямых (прямая, содержащая АВ, и прямая, проходящая через С параллельно АВ) и секущей СА. Следовательно, $\alpha = \angle BAC$.
Найдем тангенс угла $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике АВС:
$\tan(\alpha) = \tan(\angle BAC) = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет} = \frac{BC}{AB} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4} = 0.75$
Теперь вычислим значение самого угла $\alpha$ с помощью функции арктангенса:
$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$
В условии задачи требуется указать ответ в виде целого числа градусов. Округляем полученное значение до ближайшего целого:
$\alpha \approx 37^\circ$
Ответ: 37