Номер 9, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Расположите в порядке возрастания синусы углов: $60^\circ$; $90^\circ$; $135^\circ$; $150^\circ$.

Чтобы расположить синусы заданных углов в порядке возрастания, необходимо найти значение синуса для каждого угла и затем сравнить полученные значения.

1. Вычислим значение синуса для каждого угла:

• $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (табличное значение).

• $sin(90°) = 1$ (табличное значение).

• $sin(135°)$. Так как угол $135°$ находится во второй четверти, используем формулу приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $sin(150°)$. Угол $150°$ также находится во второй четверти, поэтому применяем ту же формулу:
$sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = \frac{1}{2}$.

2. Теперь у нас есть четыре значения, которые нужно сравнить: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Для удобства сравнения приведем все числа к общему виду. Представим $1$ как $\frac{2}{2}$. Чтобы сделать сравнение еще более наглядным, запишем все числители с использованием квадратного корня: $1 = \sqrt{1}$ и $2 = \sqrt{4}$.

Таким образом, наши значения для сравнения: $\frac{\sqrt{1}}{2}$ (для $sin(150°)$), $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (для $sin(135°)$), $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (для $sin(60°)$) и $\frac{\sqrt{4}}{2}$ (для $sin(90°)$).

3. Расположим значения в порядке возрастания. Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковы, нам достаточно сравнить их числители, то есть подкоренные выражения: $1 < 2 < 3 < 4$.

Соответственно, дроби располагаются в том же порядке:

$\frac{\sqrt{1}}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{4}}{2}$

Подставляя обратно соответствующие синусы, получаем итоговый ряд в порядке возрастания:

$sin(150°) < sin(135°) < sin(60°) < sin(90°)$

Ответ: $sin(150°), sin(135°), sin(60°), sin(90°)$.