Номер 2, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Какой знак имеет косинус тупого угла $A$?

Для того чтобы определить знак косинуса тупого угла $A$, необходимо вспомнить определение тупого угла и его расположение на тригонометрической окружности.

Тупым углом называется угол, величина которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Математически это записывается в виде двойного неравенства: $90^\circ < A < 180^\circ$.

На единичной тригонометрической окружности (окружности с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат) значение косинуса угла соответствует абсциссе (координате по оси X) точки, полученной поворотом на этот угол. Углы, находящиеся в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, располагаются во второй координатной четверти. Для любой точки в этой четверти координата по оси X является отрицательной.

Таким образом, поскольку тупой угол $A$ находится во второй четверти, его косинус, равный абсциссе соответствующей точки на единичной окружности, будет иметь отрицательное значение.

Это также следует из теоремы косинусов, которая гласит, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $A$ напротив стороны $a$ справедливо равенство: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$. Если угол $A$ — тупой, то сторона $a$ является самой длинной в треугольнике, и выполняется условие $a^2 > b^2 + c^2$. Из этого следует, что разность $b^2 + c^2 - a^2 < 0$. Если выразить косинус из теоремы: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Так как числитель этой дроби отрицателен, а знаменатель $(2bc)$ всегда положителен (длины сторон не могут быть отрицательными), то вся дробь, а значит и $\cos(A)$, будет отрицательной.

Ответ: косинус тупого угла имеет отрицательный знак (минус).