Номер 41, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Попробуйте определить тригонометрические функции для прямого
и тупого углов.

Для определения тригонометрических функций углов, которые не являются острыми (т.е. для прямого, тупого, развернутого и т.д. углов), традиционное определение через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике расширяют с помощью единичной окружности в декартовой системе координат.

Рассмотрим окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=1$. Угол $\alpha$ откладывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересекает единичную окружность в точке $P$ с координатами $(x, y)$.

Тригонометрические функции для любого угла $\alpha$ определяются через координаты этой точки:
• Синус угла: $\sin(\alpha) = y$
• Косинус угла: $\cos(\alpha) = x$
• Тангенс угла: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$)
• Котангенс угла: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$)

Используя это общее определение, найдем значения функций для прямого и тупого углов.

Тригонометрические функции для прямого угла

Прямой угол равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Если отложить этот угол от положительного направления оси Ox, его конечная сторона совпадет с положительным направлением оси Oy.

Точка пересечения этой стороны с единичной окружностью имеет координаты $P(0, 1)$. Таким образом, для угла $\alpha = 90^\circ$ мы имеем $x = 0$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в определения тригонометрических функций:
• $\sin(90^\circ) = y = 1$
• $\cos(90^\circ) = x = 0$
• $\tan(90^\circ) = \frac{y}{x} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, поэтому тангенс для прямого угла не определен.
• $\cot(90^\circ) = \frac{x}{y} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: Для прямого угла ($\alpha = 90^\circ$): $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\cot(90^\circ) = 0$, а $\tan(90^\circ)$ не определен.

Тригонометрические функции для тупого угла

Тупой угол $\alpha$ — это угол, который удовлетворяет неравенству $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). В декартовой системе координат конечная сторона такого угла находится во второй координатной четверти.

Для любой точки $P(x, y)$ во второй четверти ее абсцисса (координата $x$) отрицательна ($x < 0$), а ордината (координата $y$) положительна ($y > 0$).

Следовательно, знаки тригонометрических функций для тупого угла $\alpha$ будут следующими:
• $\sin(\alpha) = y > 0$ (синус тупого угла положителен).
• $\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус тупого угла отрицателен).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$. Так как $y > 0$ и $x < 0$, их отношение будет отрицательным, то есть $\tan(\alpha) < 0$.
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$. Так как $x < 0$ и $y > 0$, их отношение будет отрицательным, то есть $\cot(\alpha) < 0$.

Для вычисления конкретных значений можно использовать формулы приведения. Если $\alpha$ — тупой угол, то угол $\beta = 180^\circ - \alpha$ является острым. Значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ связаны со значениями для угла $\beta$ следующими соотношениями:
• $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$
• $\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$
• $\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$
• $\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$

Например, для угла $135^\circ$ смежный острый угол равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Тогда:
$\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(135^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$

Ответ: Для тупого угла $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): синус положителен ($\sin(\alpha) > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($\cos(\alpha) < 0$, $\tan(\alpha) < 0$, $\cot(\alpha) < 0$). Их значения могут быть найдены через значения функций смежного с ним острого угла $\beta = 180^\circ - \alpha$ с помощью формул приведения.