Вопросы, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как определяется синус тупого угла?

2. Как определяется косинус тупого угла?

3. Чему равен: а) $ \sin 90^\circ $; б) $ \cos 90^\circ $?

4. Как определяются тангенс и котангенс тупого угла?

5. Для какого угла тангенс не определен?

6. В чем заключается основное тригонометрическое тождество?

7. Чему равен: а) $ \sin 0^\circ $; б) $ \sin 180^\circ $?

8. Чему равен: а) $ \cos 0^\circ $; б) $ \cos 180^\circ $?

9. Чему равен: а) $ \tan 0^\circ $; б) $ \tan 180^\circ $?

1. Синус угла $\alpha$ (включая тупой угол, для которого $90^\circ < \alpha < 180^\circ$) определяется при помощи единичной окружности — окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Синусом угла $\alpha$ является ордината (координата $y$) точки M, полученной поворотом начальной точки P(1, 0) на угол $\alpha$. Для тупого угла точка M располагается во второй координатной четверти, где ее ордината положительна. Также можно воспользоваться формулой приведения: $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$.
Ответ: Синус тупого угла $\alpha$ определяется как ордината точки на единичной окружности, которая соответствует данному углу.

2. Косинус угла $\alpha$ (включая тупой) определяется как абсцисса (координата $x$) точки M на единичной окружности, соответствующей этому углу. Для тупого угла ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) точка M находится во второй координатной четверти. В этой четверти абсцисса точки отрицательна, следовательно, косинус тупого угла всегда является отрицательным числом. Соответствующая формула приведения: $\cos \alpha = -\cos(180^\circ - \alpha)$.
Ответ: Косинус тупого угла $\alpha$ определяется как абсцисса точки на единичной окружности, которая соответствует данному углу.

3. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью. Углу в $90^\circ$ соответствует точка M с координатами (0, 1).
а) Синус угла равен ординате ($y$) точки M. Таким образом, $\sin 90^\circ = 1$.
Ответ: $\sin 90^\circ = 1$.
б) Косинус угла равен абсциссе ($x$) точки M. Таким образом, $\cos 90^\circ = 0$.
Ответ: $\cos 90^\circ = 0$.

4. Тангенс и котангенс тупого угла (как и любого другого) определяются через отношения синуса и косинуса. Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — это отношение косинуса к синусу. У тупого угла синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$), поэтому и тангенс, и котангенс тупого угла будут отрицательными.
Ответ: Тангенс тупого угла определяется по формуле $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, а котангенс — по формуле $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

5. Тангенс угла $\alpha$ определяется формулой $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Данное выражение не имеет смысла (не определено), когда его знаменатель равен нулю, то есть когда $\cos \alpha = 0$. В пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ это условие выполняется для угла $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: Тангенс не определен для угла $90^\circ$ (и для всех углов вида $90^\circ + 180^\circ k$, где $k$ — целое число).

6. Основное тригонометрическое тождество выражает фундаментальную связь между синусом и косинусом одного и того же угла. Оно является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, построенного на единичной окружности. Тождество утверждает, что для любого угла $\alpha$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.
Ответ: Основное тригонометрическое тождество заключается в равенстве $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

7. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью.
а) Углу $0^\circ$ соответствует точка P с координатами (1, 0). Синус равен ординате ($y$) этой точки.
Ответ: $\sin 0^\circ = 0$.
б) Углу $180^\circ$ соответствует точка K с координатами (-1, 0). Синус равен ординате ($y$) этой точки.
Ответ: $\sin 180^\circ = 0$.

8. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью.
а) Углу $0^\circ$ соответствует точка P с координатами (1, 0). Косинус равен абсциссе ($x$) этой точки.
Ответ: $\cos 0^\circ = 1$.
б) Углу $180^\circ$ соответствует точка K с координатами (-1, 0). Косинус равен абсциссе ($x$) этой точки.
Ответ: $\cos 180^\circ = -1$.

9. Для вычисления значений воспользуемся определением тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
а) Для угла $0^\circ$ имеем $\sin 0^\circ = 0$ и $\cos 0^\circ = 1$. Следовательно, $\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $\tan 0^\circ = 0$.
б) Для угла $180^\circ$ имеем $\sin 180^\circ = 0$ и $\cos 180^\circ = -1$. Следовательно, $\tan 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: $\tan 180^\circ = 0$.