Страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как определяется синус тупого угла?

2. Как определяется косинус тупого угла?

3. Чему равен: а) $ \sin 90^\circ $; б) $ \cos 90^\circ $?

4. Как определяются тангенс и котангенс тупого угла?

5. Для какого угла тангенс не определен?

6. В чем заключается основное тригонометрическое тождество?

7. Чему равен: а) $ \sin 0^\circ $; б) $ \sin 180^\circ $?

8. Чему равен: а) $ \cos 0^\circ $; б) $ \cos 180^\circ $?

9. Чему равен: а) $ \tan 0^\circ $; б) $ \tan 180^\circ $?

1. Синус угла $\alpha$ (включая тупой угол, для которого $90^\circ < \alpha < 180^\circ$) определяется при помощи единичной окружности — окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Синусом угла $\alpha$ является ордината (координата $y$) точки M, полученной поворотом начальной точки P(1, 0) на угол $\alpha$. Для тупого угла точка M располагается во второй координатной четверти, где ее ордината положительна. Также можно воспользоваться формулой приведения: $\sin \alpha = \sin(180^\circ - \alpha)$.
Ответ: Синус тупого угла $\alpha$ определяется как ордината точки на единичной окружности, которая соответствует данному углу.

2. Косинус угла $\alpha$ (включая тупой) определяется как абсцисса (координата $x$) точки M на единичной окружности, соответствующей этому углу. Для тупого угла ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) точка M находится во второй координатной четверти. В этой четверти абсцисса точки отрицательна, следовательно, косинус тупого угла всегда является отрицательным числом. Соответствующая формула приведения: $\cos \alpha = -\cos(180^\circ - \alpha)$.
Ответ: Косинус тупого угла $\alpha$ определяется как абсцисса точки на единичной окружности, которая соответствует данному углу.

3. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью. Углу в $90^\circ$ соответствует точка M с координатами (0, 1).
а) Синус угла равен ординате ($y$) точки M. Таким образом, $\sin 90^\circ = 1$.
Ответ: $\sin 90^\circ = 1$.
б) Косинус угла равен абсциссе ($x$) точки M. Таким образом, $\cos 90^\circ = 0$.
Ответ: $\cos 90^\circ = 0$.

4. Тангенс и котангенс тупого угла (как и любого другого) определяются через отношения синуса и косинуса. Тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — это отношение косинуса к синусу. У тупого угла синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$), поэтому и тангенс, и котангенс тупого угла будут отрицательными.
Ответ: Тангенс тупого угла определяется по формуле $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, а котангенс — по формуле $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

5. Тангенс угла $\alpha$ определяется формулой $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Данное выражение не имеет смысла (не определено), когда его знаменатель равен нулю, то есть когда $\cos \alpha = 0$. В пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ это условие выполняется для угла $\alpha = 90^\circ$.
Ответ: Тангенс не определен для угла $90^\circ$ (и для всех углов вида $90^\circ + 180^\circ k$, где $k$ — целое число).

6. Основное тригонометрическое тождество выражает фундаментальную связь между синусом и косинусом одного и того же угла. Оно является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, построенного на единичной окружности. Тождество утверждает, что для любого угла $\alpha$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.
Ответ: Основное тригонометрическое тождество заключается в равенстве $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

7. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью.
а) Углу $0^\circ$ соответствует точка P с координатами (1, 0). Синус равен ординате ($y$) этой точки.
Ответ: $\sin 0^\circ = 0$.
б) Углу $180^\circ$ соответствует точка K с координатами (-1, 0). Синус равен ординате ($y$) этой точки.
Ответ: $\sin 180^\circ = 0$.

8. Для определения значений воспользуемся единичной окружностью.
а) Углу $0^\circ$ соответствует точка P с координатами (1, 0). Косинус равен абсциссе ($x$) этой точки.
Ответ: $\cos 0^\circ = 1$.
б) Углу $180^\circ$ соответствует точка K с координатами (-1, 0). Косинус равен абсциссе ($x$) этой точки.
Ответ: $\cos 180^\circ = -1$.

9. Для вычисления значений воспользуемся определением тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
а) Для угла $0^\circ$ имеем $\sin 0^\circ = 0$ и $\cos 0^\circ = 1$. Следовательно, $\tan 0^\circ = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $\tan 0^\circ = 0$.
б) Для угла $180^\circ$ имеем $\sin 180^\circ = 0$ и $\cos 180^\circ = -1$. Следовательно, $\tan 180^\circ = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: $\tan 180^\circ = 0$.

1. Какой знак имеет синус тупого угла $A$?

1. Чтобы определить знак синуса тупого угла $A$, рассмотрим определение тупого угла и его расположение на тригонометрической (единичной) окружности.

По определению, тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Это можно записать в виде неравенства: $90^\circ < A < 180^\circ$.

На единичной окружности, с центром в начале координат и радиусом, равным единице, синус угла определяется как ордината (координата $y$) точки пересечения конечной стороны угла с этой окружностью.

Координатная плоскость делится на четыре четверти (квадранта):

• I четверть: углы от $0^\circ$ до $90^\circ$. Здесь и синус ($y$), и косинус ($x$) положительны.
• II четверть: углы от $90^\circ$ до $180^\circ$. Здесь синус ($y$) положителен, а косинус ($x$) отрицателен.
• III четверть: углы от $180^\circ$ до $270^\circ$. Здесь и синус ($y$), и косинус ($x$) отрицательны.
• IV четверть: углы от $270^\circ$ до $360^\circ$. Здесь синус ($y$) отрицателен, а косинус ($x$) положителен.

Поскольку тупой угол $A$ находится в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$, он располагается во второй координатной четверти. Во второй четверти все точки имеют положительную ординату ($y > 0$). Следовательно, синус любого тупого угла является положительным числом.

Например, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2} > 0$.

Ответ: положительный.

2. Какой знак имеет косинус тупого угла $A$?

Для того чтобы определить знак косинуса тупого угла $A$, необходимо вспомнить определение тупого угла и его расположение на тригонометрической окружности.

Тупым углом называется угол, величина которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Математически это записывается в виде двойного неравенства: $90^\circ < A < 180^\circ$.

На единичной тригонометрической окружности (окружности с радиусом, равным 1, и с центром в начале координат) значение косинуса угла соответствует абсциссе (координате по оси X) точки, полученной поворотом на этот угол. Углы, находящиеся в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, располагаются во второй координатной четверти. Для любой точки в этой четверти координата по оси X является отрицательной.

Таким образом, поскольку тупой угол $A$ находится во второй четверти, его косинус, равный абсциссе соответствующей точки на единичной окружности, будет иметь отрицательное значение.

Это также следует из теоремы косинусов, которая гласит, что для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $A$ напротив стороны $a$ справедливо равенство: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$. Если угол $A$ — тупой, то сторона $a$ является самой длинной в треугольнике, и выполняется условие $a^2 > b^2 + c^2$. Из этого следует, что разность $b^2 + c^2 - a^2 < 0$. Если выразить косинус из теоремы: $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Так как числитель этой дроби отрицателен, а знаменатель $(2bc)$ всегда положителен (длины сторон не могут быть отрицательными), то вся дробь, а значит и $\cos(A)$, будет отрицательной.

Ответ: косинус тупого угла имеет отрицательный знак (минус).

3. Какой знак имеет тангенс тупого угла A?

Тупой угол — это угол $A$, величина которого находится в пределах от 90° до 180°, то есть $90^\circ < A < 180^\circ$. На тригонометрической (единичной) окружности такие углы располагаются во второй координатной четверти.

Тангенс угла определяется по формуле как отношение синуса этого угла к его косинусу: $tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}$. Чтобы определить знак тангенса, необходимо знать знаки синуса и косинуса для угла во второй четверти. На единичной окружности синус угла соответствует координате $y$, а косинус — координате $x$.

Во второй четверти координата $y$ всегда положительна, а координата $x$ всегда отрицательна. Следовательно, для тупого угла $A$:

• синус угла положителен: $\sin(A) > 0$.

• косинус угла отрицателен: $\cos(A) < 0$.

Теперь, зная знаки числителя и знаменателя, мы можем определить знак тангенса, который представляет собой их отношение:

$tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{\text{положительное значение}}{\text{отрицательное значение}}$

При делении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Таким образом, тангенс тупого угла имеет отрицательный знак.

Ответ: отрицательный.

4. Какой знак имеет котангенс тупого угла A?

Тупым углом называется угол $A$, который удовлетворяет неравенству $90^\circ < A < 180^\circ$. На тригонометрической окружности такие углы располагаются во второй координатной четверти.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса этого угла к его синусу. Формула для котангенса: $ \cot(A) = \frac{\cos(A)}{\sin(A)} $

Теперь определим знаки синуса и косинуса для угла во второй четверти:

1. Синус угла $A$ ($\sin(A)$) во второй четверти положителен, так как он соответствует ординате (координате $y$) точки на единичной окружности, а во второй четверти $y > 0$.

2. Косинус угла $A$ ($\cos(A)$) во второй четверти отрицателен, так как он соответствует абсциссе (координате $x$) точки на единичной окружности, а во второй четверти $x < 0$.

Подставляя знаки в формулу котангенса, получаем: $ \cot(A) = \frac{\cos(A)}{\sin(A)} = \frac{\text{отрицательное значение}}{\text{положительное значение}} $

Деление отрицательного числа на положительное дает в результате отрицательное число. Таким образом, котангенс тупого угла всегда отрицателен.

Ответ: отрицательный.

Б Чему равен синус:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$?

Для нахождения значений синусов тупых углов ($90° < \alpha < 180°$) используется формула приведения: $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$. Эта формула показывает, что синусы смежных углов равны.

а) 120°
Чтобы найти синус $120°$, представим этот угол в виде разности $180° - 60°$.
Применим формулу приведения:
$sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°)$.
Значение $sin(60°)$ является табличным значением тригонометрических функций.
$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) 135°
Чтобы найти синус $135°$, представим этот угол в виде разности $180° - 45°$.
Применим формулу приведения:
$sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°)$.
Значение $sin(45°)$ является табличным значением.
$sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) 150°
Чтобы найти синус $150°$, представим этот угол в виде разности $180° - 30°$.
Применим формулу приведения:
$sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°)$.
Значение $sin(30°)$ является табличным значением.
$sin(30°) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $sin(150°) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

6. Чему равен косинус:

а) $120^\circ$

б) $135^\circ$

в) $150^\circ$

а) Для вычисления косинуса тупого угла можно воспользоваться формулой приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Углы 120°, 135° и 150° находятся во второй четверти единичной окружности, где косинус имеет отрицательное значение.
Представим угол 120° в виде разности $180^\circ - 60^\circ$.
Применим формулу:
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ)$.
Значение $\cos(60^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.
Следовательно, $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Представим угол 135° в виде разности $180^\circ - 45^\circ$.
Применим ту же формулу приведения:
$\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ)$.
Табличное значение $\cos(45^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Представим угол 150° в виде разности $180^\circ - 30^\circ$.
Используем формулу приведения:
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$.
Табличное значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

7. Чему равен тангенс:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$?

а) Для того чтобы найти тангенс угла $120°$, можно воспользоваться формулой приведения $ \tan(180° - \alpha) = -\tan(\alpha) $. Углы во второй четверти ($90° < \alpha < 180°$) имеют отрицательный тангенс.
Представим угол $120°$ как разность $180° - 60°$.
Применим формулу приведения: $ \tan(120°) = \tan(180° - 60°) = -\tan(60°) $.
Значение тангенса $60°$ является табличным: $ \tan(60°) = \sqrt{3} $.
Следовательно, $ \tan(120°) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $

б) Для нахождения тангенса угла $135°$ используем ту же формулу приведения $ \tan(180° - \alpha) = -\tan(\alpha) $.
Представим угол $135°$ как разность $180° - 45°$.
Применим формулу: $ \tan(135°) = \tan(180° - 45°) = -\tan(45°) $.
Табличное значение тангенса $45°$ равно $1$: $ \tan(45°) = 1 $.
Следовательно, $ \tan(135°) = -1 $.
Ответ: $ -1 $

в) Для нахождения тангенса угла $150°$ снова воспользуемся формулой приведения $ \tan(180° - \alpha) = -\tan(\alpha) $.
Представим угол $150°$ как разность $180° - 30°$.
Применим формулу: $ \tan(150°) = \tan(180° - 30°) = -\tan(30°) $.
Табличное значение тангенса $30°$ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $: $ \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \tan(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

8. Чему равен котангенс:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$?

Для нахождения значений котангенса углов, находящихся во второй четверти (от $90^\circ$ до $180^\circ$), можно использовать формулы приведения. Одна из основных формул приведения для котангенса: $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$. Также можно использовать определение котангенса через синус и косинус: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Во второй четверти косинус отрицателен, а синус положителен, поэтому котангенс имеет отрицательное значение.

а) Найдем котангенс $120^\circ$.
Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(120^\circ) = \cot(180^\circ - 60^\circ) = -\cot(60^\circ)$.
Значение $\cot(60^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$).
Таким образом, $\cot(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Найдем котангенс $135^\circ$.
Представим угол $135^\circ$ как разность $180^\circ - 45^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(135^\circ) = \cot(180^\circ - 45^\circ) = -\cot(45^\circ)$.
Табличное значение $\cot(45^\circ)$ равно $1$.
Следовательно, $\cot(135^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Найдем котангенс $150^\circ$.
Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.
Применим формулу приведения:
$\cot(150^\circ) = \cot(180^\circ - 30^\circ) = -\cot(30^\circ)$.
Табличное значение $\cot(30^\circ)$ равно $\sqrt{3}$.
Следовательно, $\cot(150^\circ) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

9. Расположите в порядке возрастания синусы углов: $60^\circ$; $90^\circ$; $135^\circ$; $150^\circ$.

Чтобы расположить синусы заданных углов в порядке возрастания, необходимо найти значение синуса для каждого угла и затем сравнить полученные значения.

1. Вычислим значение синуса для каждого угла:

• $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (табличное значение).

• $sin(90°) = 1$ (табличное значение).

• $sin(135°)$. Так как угол $135°$ находится во второй четверти, используем формулу приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$.
$sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $sin(150°)$. Угол $150°$ также находится во второй четверти, поэтому применяем ту же формулу:
$sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = \frac{1}{2}$.

2. Теперь у нас есть четыре значения, которые нужно сравнить: $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Для удобства сравнения приведем все числа к общему виду. Представим $1$ как $\frac{2}{2}$. Чтобы сделать сравнение еще более наглядным, запишем все числители с использованием квадратного корня: $1 = \sqrt{1}$ и $2 = \sqrt{4}$.

Таким образом, наши значения для сравнения: $\frac{\sqrt{1}}{2}$ (для $sin(150°)$), $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (для $sin(135°)$), $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (для $sin(60°)$) и $\frac{\sqrt{4}}{2}$ (для $sin(90°)$).

3. Расположим значения в порядке возрастания. Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковы, нам достаточно сравнить их числители, то есть подкоренные выражения: $1 < 2 < 3 < 4$.

Соответственно, дроби располагаются в том же порядке:

$\frac{\sqrt{1}}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{\sqrt{4}}{2}$

Подставляя обратно соответствующие синусы, получаем итоговый ряд в порядке возрастания:

$sin(150°) < sin(135°) < sin(60°) < sin(90°)$

Ответ: $sin(150°), sin(135°), sin(60°), sin(90°)$.

10. Расположите в порядке возрастания косинусы углов: 60°; 90°; 135°; 150°.

Чтобы расположить косинусы углов в порядке возрастания, необходимо найти значения косинусов для каждого угла и затем сравнить их.

Вычислим значения косинусов для заданных углов:

1. $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $

2. $ \cos(90^\circ) = 0 $

3. Для угла $135^\circ$, который находится во второй четверти, используем формулу приведения: $ \cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

4. Для угла $150^\circ$, который также находится во второй четверти, используем формулу приведения: $ \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь у нас есть четыре значения: $ \frac{1}{2} $, $ 0 $, $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Сравним их.

Очевидно, что положительное число $ \frac{1}{2} $ больше нуля, а оба отрицательных числа меньше нуля.Чтобы сравнить $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $, сравним $ \sqrt{2} $ и $ \sqrt{3} $. Так как $ 3 > 2 $, то $ \sqrt{3} > \sqrt{2} $.При умножении на отрицательное число (в нашем случае на $ -\frac{1}{2} $) знак неравенства меняется на противоположный: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, располагая все значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем следующую последовательность:$ -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 < \frac{1}{2} $

Теперь заменим числовые значения на соответствующие им косинусы углов:$ \cos(150^\circ) < \cos(135^\circ) < \cos(90^\circ) < \cos(60^\circ) $

Альтернативное решение:Можно воспользоваться свойством функции $y = \cos(x)$. На промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$ эта функция является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше угол, тем меньше значение его косинуса.Расположим углы в порядке возрастания: $ 60^\circ < 90^\circ < 135^\circ < 150^\circ $.Поскольку функция косинуса убывает на этом интервале, для их косинусов будет выполняться обратное неравенство:$ \cos(60^\circ) > \cos(90^\circ) > \cos(135^\circ) > \cos(150^\circ) $.Записав эту последовательность в порядке возрастания, получим тот же результат.

Ответ: $ \cos(150^\circ), \cos(135^\circ), \cos(90^\circ), \cos(60^\circ) $.

11. Расположите в порядке возрастания тангенсы углов: $60^\circ$; $90^\circ$; $135^\circ$; $150^\circ$.

Для того чтобы расположить тангенсы данных углов в порядке возрастания, необходимо сначала вычислить их значения.

Вычислим значение тангенса для каждого из углов:
• $ \tan(60^\circ) $: это табличное значение, $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $.
• $ \tan(135^\circ) $: угол $ 135^\circ $ находится во второй координатной четверти. Используя формулу приведения $ \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha) $, находим: $ \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1 $.
• $ \tan(150^\circ) $: угол $ 150^\circ $ также находится во второй четверти. Аналогично: $ \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
• $ \tan(90^\circ) $: значение тангенса для угла $ 90^\circ $ не определено. Это связано с тем, что $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, а $ \cos(90^\circ) = 0 $. Деление на ноль является неопределенной операцией.

Теперь необходимо сравнить полученные действительные значения: $ \sqrt{3} $, $ -1 $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Для удобства сравнения можно использовать их приблизительные десятичные значения: $ \sqrt{3} \approx 1.732 $ и $ -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 $.

Сравнивая эти числа, мы видим, что $ -1 < -0.577 < 1.732 $. Следовательно, в порядке возрастания значения располагаются так: $ -1 < -\frac{\sqrt{3}}{3} < \sqrt{3} $.

Это соответствует следующему порядку тангенсов: $ \tan(135^\circ) < \tan(150^\circ) < \tan(60^\circ) $.

Поскольку значение $ \tan(90^\circ) $ не определено, его нельзя включить в этот упорядоченный ряд действительных чисел.

Ответ: Порядок возрастания для определенных значений тангенсов следующий: $ \tan(135^\circ) $, $ \tan(150^\circ) $, $ \tan(60^\circ) $. Значение $ \tan(90^\circ) $ не определено.

12. Расположите в порядке возрастания котангенсы углов: $60^\circ$; $120^\circ$; $135^\circ$; $150^\circ$.

Чтобы расположить котангенсы заданных углов в порядке возрастания, необходимо вычислить их значения или проанализировать поведение функции котангенса.

Способ 1: Вычисление и сравнение значений

Сначала найдем значение котангенса для каждого из углов.

1. Для угла 60°. Этот угол находится в первой четверти. Значение является табличным: $ \ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

2. Для угла 120°. Этот угол находится во второй четверти, где значения котангенса отрицательны. Используя формулы приведения, получаем: $ \ctg(120^\circ) = \ctg(180^\circ - 60^\circ) = -\ctg(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

3. Для угла 135°. Этот угол также находится во второй четверти. По формулам приведения: $ \ctg(135^\circ) = \ctg(180^\circ - 45^\circ) = -\ctg(45^\circ) = -1 $.

4. Для угла 150°. Угол из второй четверти. По формулам приведения: $ \ctg(150^\circ) = \ctg(180^\circ - 30^\circ) = -\ctg(30^\circ) = -\sqrt{3} $.

Теперь у нас есть четыре числа: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ -1 $ и $ -\sqrt{3} $. Нам нужно расположить их в порядке возрастания.

Для удобства сравнения можно использовать их приблизительные значения, зная, что $ \sqrt{3} \approx 1.732 $:

$ \ctg(150^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732 $

$ \ctg(135^\circ) = -1 $

$ \ctg(120^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \approx -0.577 $

$ \ctg(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 $

Сравнивая эти числа, мы видим, что самое маленькое (наиболее отрицательное) из них это $ -\sqrt{3} $, а самое большое (единственное положительное) — $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Расположим их в порядке возрастания:

$ -\sqrt{3} < -1 < -\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3} $

Соответственно, порядок котангенсов будет таким:

$ \ctg(150^\circ) < \ctg(135^\circ) < \ctg(120^\circ) < \ctg(60^\circ) $.

Способ 2: Использование свойств функции котангенса

Функция $ y = \ctg(x) $ является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Это означает, что большему значению угла соответствует меньшее значение котангенса.

Расположим заданные углы в порядке возрастания:

$ 60^\circ < 120^\circ < 135^\circ < 150^\circ $.

Поскольку все эти углы лежат в интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $, и на этом интервале функция котангенса убывает, то для значений котангенсов будет выполняться обратное неравенство:

$ \ctg(60^\circ) > \ctg(120^\circ) > \ctg(135^\circ) > \ctg(150^\circ) $.

Это порядок убывания. Для того чтобы получить порядок возрастания, нам нужно записать эту последовательность в обратном порядке.

Ответ: $ \ctg(150^\circ), \ctg(135^\circ), \ctg(120^\circ), \ctg(60^\circ) $.

13. Синус тупого угла равен 0,8. Найдите косинус этого угла.

Для нахождения косинуса угла, зная его синус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим из этой формулы косинус угла:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

По условию, нам дан тупой угол $\alpha$, и его синус равен 0,8. Подставим это значение в формулу:

$\cos^2 \alpha = 1 - (0,8)^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - 0,64$

$\cos^2 \alpha = 0,36$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти значение косинуса:

$\cos \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6$

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что угол является тупым. Тупой угол находится в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$, что соответствует второй координатной четверти на единичной окружности. В этой четверти значения косинуса всегда отрицательны.

Следовательно, из двух возможных значений (0,6 и -0,6) мы должны выбрать отрицательное.

$\cos \alpha = -0,6$

Ответ: -0,6

11. Косинус тупого угла равен $-0.8$. Найдите синус этого угла.

Для нахождения синуса угла, зная его косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Из этого тождества выразим квадрат синуса:

$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) $

По условию задачи, косинус тупого угла равен -0,8. Подставим это значение в формулу:

$ \sin^2(\alpha) = 1 - (-0,8)^2 $

Вычислим квадрат косинуса:

$ (-0,8)^2 = 0,64 $

Теперь найдем квадрат синуса:

$ \sin^2(\alpha) = 1 - 0,64 = 0,36 $

Из этого следует, что синус может быть равен $ \sqrt{0,36} $ или $ -\sqrt{0,36} $.

$ \sin(\alpha) = 0,6 $ или $ \sin(\alpha) = -0,6 $.

В условии сказано, что угол тупой. Тупые углы лежат в диапазоне от 90° до 180°, что соответствует второй координатной четверти. Синус во второй четверти имеет положительное значение.

Следовательно, из двух возможных вариантов мы выбираем положительный.

Ответ: 0,6