Страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и синус противолежащего угла?

2. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и косинус прилежащего угла?

3. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и тангенс противолежащего угла?

4. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и котангенс прилежащего угла?

Для подробного ответа на вопросы введем обозначения для прямоугольного треугольника. Пусть катеты будут $a$ и $b$, гипотенуза — $c$. Угол, противолежащий катету $a$, назовем $\alpha$, а угол, противолежащий катету $b$ и прилежащий к катету $a$, — $\beta$.

1. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и синус противолежащего угла?
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$ это записывается как $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$. Чтобы из этой формулы выразить катет $a$, необходимо умножить гипотенузу $c$ на $\sin(\alpha)$. Таким образом, катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла.
Ответ: Катет равен произведению гипотенузы на синус противолежащего угла. Формула: $a = c \cdot \sin(\alpha)$.

2. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и косинус прилежащего угла?
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Соответственно, $\cos(\beta) = \frac{a}{c}$. Чтобы выразить катет $a$, нужно умножить гипотенузу $c$ на косинус прилежащего к нему угла $\beta$. Таким образом, катет равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
Ответ: Катет равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла. Формула: $a = c \cdot \cos(\beta)$.

3. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и тангенс противолежащего угла?
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$, противолежащим катетом является $a$, а прилежащим — $b$. Таким образом, $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$. Чтобы найти катет $a$, нужно второй катет $b$ умножить на тангенс угла $\alpha$, который противолежит искомому катету $a$.
Ответ: Катет равен произведению второго катета на тангенс противолежащего угла. Формула: $a = b \cdot \tan(\alpha)$.

4. Как выражается катет прямоугольного треугольника через второй катет и котангенс прилежащего угла?
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему. Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Котангенс угла $\beta$ равен отношению прилежащего к нему катета ($a$) к противолежащему ($b$), то есть $\cot(\beta) = \frac{a}{b}$. Отсюда, катет $a$ равен произведению второго катета $b$ на котангенс прилежащего к искомому катету $a$ угла $\beta$.
Ответ: Катет равен произведению второго катета на котангенс прилежащего угла. Формула: $a = b \cdot \cot(\beta)$.

1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 2$.

Найдите $BC$.

В данной задаче мы имеем дело с прямоугольным треугольником $ABC$, поскольку по условию угол $C$ равен $90^\circ$. В этом треугольнике нам известна длина гипотенузы $AB = 2$ и величина острого угла $\angle A = 30^\circ$. Требуется найти длину катета $BC$.

Способ 1: Использование свойства угла в 30 градусов
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $ABC$ катет $BC$ находится напротив угла $\angle A = 30^\circ$.
Следовательно, его длина вычисляется по формуле:
$BC = \frac{1}{2} \cdot AB$
Подставляем известное значение длины гипотенузы $AB$:
$BC = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Способ 2: Использование тригонометрических функций
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ это записывается так:
$sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$
Чтобы найти $BC$, выразим его из этой формулы:
$BC = AB \cdot sin(\angle A)$
Подставим известные значения $AB=2$ и $\angle A = 30^\circ$ в формулу:
$BC = 2 \cdot sin(30^\circ)$
Зная, что $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$BC = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Оба способа решения приводят к одинаковому результату.
Ответ: 1

2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 2$. Найдите $AC$.

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$, так как $\angle C = 90^\circ$. Известна длина гипотенузы $AB = 2$ и величина острого угла $\angle A = 30^\circ$. Необходимо найти длину катета $AC$.

Катет $AC$ является прилежащим к углу $A$. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запишем формулу для косинуса угла $A$:

$ \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} $

Из этой формулы мы можем выразить искомую сторону $AC$:

$ AC = AB \cdot \cos(\angle A) $

Теперь подставим известные значения в формулу: $AB = 2$ и $\angle A = 30^\circ$.

$ AC = 2 \cdot \cos(30^\circ) $

Значение косинуса $30^\circ$ — это табличная величина:

$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим это значение в наше выражение для $AC$ и вычислим результат:

$ AC = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $

3. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $BC = 1$.

Найдите $AB$.

Нам дан прямоугольный треугольник $ABC$, так как по условию угол $C$ равен $90^\circ$. В этом треугольнике сторона $AB$ является гипотенузой (потому что лежит напротив прямого угла), а сторона $BC$ — катетом, который лежит напротив угла $A$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника, которое гласит: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

В нашем треугольнике угол $A = 30^\circ$, а катет, лежащий напротив него, — это $BC$. Следовательно, мы можем записать следующее соотношение: $BC = \frac{1}{2} \cdot AB$

По условию задачи нам известно, что $BC = 1$. Подставим это значение в формулу: $1 = \frac{1}{2} \cdot AB$

Чтобы найти длину гипотенузы $AB$, выразим ее из этого уравнения, умножив обе части на 2: $AB = 1 \cdot 2$ $AB = 2$

Ответ: $2$.

4. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 2$. Найдите $AB$.

По условию задачи, нам дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($ \angle C = 90^\circ $), угол $A$ равен $30^\circ$ ($ \angle A = 30^\circ $), а длина катета $AC$ равна 2.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла $A$ прилежащим катетом является сторона $AC$, а гипотенузой — сторона $AB$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$ \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} $

Из этой формулы можно выразить искомую сторону $AB$:

$ AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} $

Теперь подставим известные нам значения: $AC = 2$ и $ \angle A = 30^\circ $.

$ AB = \frac{2}{\cos(30^\circ)} $

Значение косинуса $30^\circ$ является известной тригонометрической константой:

$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим это значение в нашу формулу для $AB$:

$ AB = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

$ AB = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ AB = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $

5. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 2$.
Найдите $BC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения неизвестной стороны. В данном треугольнике нам известны угол $A$ и прилежащий к нему катет $AC$. Нам нужно найти катет $BC$, который является противолежащим углу $A$.

Отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике определяется через тангенс угла. Формула тангенса для угла $A$ выглядит следующим образом:

$\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$

Мы знаем, что $\angle A = 30^\circ$ и $AC = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$\tan(30^\circ) = \frac{BC}{2}$

Чтобы найти длину $BC$, выразим ее из этого уравнения:

$BC = 2 \cdot \tan(30^\circ)$

Стандартное значение тангенса 30 градусов равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$). Используем это значение для вычисления:

$BC = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $BC = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

6. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $BC = 1$.

Найдите $AC$.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике известны острый угол $\angle A = 30^\circ$ и длина катета $BC = 1$. Катет $BC$ является противолежащим углу $A$. Требуется найти длину катета $AC$, который является прилежащим к углу $A$.

Для решения этой задачи можно использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Для угла $A$ это записывается в виде формулы:

$\tan(A) = \frac{BC}{AC}$

Из этой формулы выразим искомую сторону $AC$:

$AC = \frac{BC}{\tan(A)}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу. Нам дано, что $BC = 1$ и $\angle A = 30^\circ$. Табличное значение тангенса $30^\circ$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$AC = \frac{1}{\tan(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

7. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AB = 1$.

Найдите $BC$.

В заданном треугольнике $ABC$ известны: угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$ и длина гипотенузы $AB$ равна $1$. Требуется найти длину катета $BC$.

Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти третий угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ$

Так как углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, также равны. Следовательно, катет $AC$ (напротив угла $B$) равен катету $BC$ (напротив угла $A$).

$AC = BC$

Далее можно воспользоваться теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Заменив $AC$ на $BC$ и подставив значение $AB=1$, получим:

$BC^2 + BC^2 = 1^2$

$2 \cdot BC^2 = 1$

$BC^2 = \frac{1}{2}$

$BC = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Также эту задачу можно решить с помощью тригонометрии. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ имеем:

$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\sin(45^\circ) = \frac{BC}{1}$

Отсюда $BC = \sin(45^\circ)$. Табличное значение $\sin(45^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

8. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AC = 1$.
Найдите $AB$.

В данном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, следовательно, треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника и теоремы Пифагора.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем угол $B$:
$\angle B = 180° - \angle C - \angle A = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Поскольку $\angle A = \angle B = 45°$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, катет $BC$ равен катету $AC$.
Так как по условию $AC = 1$, то и $BC = 1$.
Теперь для нахождения гипотенузы $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Подставим известные значения:
$AB^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AB = \sqrt{2}$

Способ 2: Использование тригонометрических функций.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ имеем:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
Выразим из этого соотношения гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)}$
Подставим известные значения $AC = 1$ и $\angle A = 45°$:
$AB = \frac{1}{\cos(45°)}$
Значение косинуса $45°$ является табличным: $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в нашу формулу:
$AB = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AB = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

9. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 8$, $\sin A = 0.8$. Найдите $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус острого угла $A$ определяется как отношение длины противолежащего катета ($BC$) к длине гипотенузы ($AB$).

Формула для синуса угла $A$ выглядит следующим образом:$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Согласно условию задачи, нам известны следующие значения:$BC = 8$$\sin A = 0,8$

Подставим известные значения в формулу:$0,8 = \frac{8}{AB}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую сторону $AB$:$AB = \frac{8}{0,8}$

Для вычисления разделим 8 на 0,8. Это эквивалентно делению 80 на 8:$AB = \frac{80}{8} = 10$

Таким образом, длина гипотенузы $AB$ составляет 10.Ответ: 10.

10. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{2}{3}$, $AC = 6$. Найдите $AB$.

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, поскольку угол $C$ равен $90^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла определяется как отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
Для угла $A$ прилежащим катетом является сторона $AC$, а гипотенузой — сторона $AB$.
Таким образом, мы можем записать следующую формулу:
$\cos A = \frac{AC}{AB}$
Из условия задачи нам известны следующие значения:
$\cos A = \frac{2}{3}$
$AC = 6$
Подставим известные значения в формулу:
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$
Теперь выразим $AB$ из этого уравнения. Для этого можно воспользоваться правилом пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или просто выразить неизвестную величину:
$2 \cdot AB = 6 \cdot 3$
$2 \cdot AB = 18$
$AB = \frac{18}{2}$
$AB = 9$
Следовательно, длина стороны $AB$ равна 9.
Ответ: 9

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, $tg A = \frac{3}{4}$, $BC = 6$. Найдите AC.

Дан треугольник $ABC$, в котором угол $C$ равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, а стороны $AC$ и $BC$ — его катеты.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Для угла $A$ противолежащим катетом является сторона $BC$, а прилежащим — сторона $AC$.

Таким образом, формула для тангенса угла $A$ выглядит следующим образом:

$tg A = \frac{BC}{AC}$

Из условия задачи нам известны следующие значения: $tg A = \frac{3}{4}$ и $BC = 6$. Подставим их в нашу формулу:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{AC}$

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно $AC$. Выразим $AC$ из пропорции:

$3 \cdot AC = 6 \cdot 4$

$3 \cdot AC = 24$

$AC = \frac{24}{3}$

$AC = 8$

Ответ: 8