Страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Есть ли ошибки на рисунках 14.17, 14.18? Объясните ответы.

Для рисунка 14.17:

В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $BDC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $D$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

Подставим известные значения: $5^2 = 4^2 + BD^2$

$25 = 16 + BD^2$

$BD^2 = 25 - 16$

$BD^2 = 9$

$BD = 3$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора:

$BC^2 = DC^2 + BD^2$

Подставим известные значения: $4^2 = 2^2 + BD^2$

$16 = 4 + BD^2$

$BD^2 = 16 - 4$

$BD^2 = 12$

$BD = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Получаем два разных значения для высоты $BD$ ($3$ и $2\sqrt{3}$). Так как $3 \neq 2\sqrt{3}$, данные на рисунке 14.17 противоречивы. Следовательно, на рисунке 14.17 допущена ошибка.

Для рисунка 14.18:

На рисунке даны следующие условия:

1. Треугольник $LKM$ является прямоугольным, так как $\angle K = 90^\circ$.

2. Точка $Q$ является серединой гипотенузы $LM$, так как $QL = QM$ (помечены двойными штрихами).

3. Отрезок $PQ$ перпендикулярен гипотенузе $LM$, так как $\angle PQL = 90^\circ$ (помечен прямым углом).

4. Отрезки $KP$ и $KQ$ равны, так как помечены одинарными штрихами ($KP = KQ$).

5. Длины отрезков: $LP = 2$ и $KM = 3$.

Исходя из условия 1 и 2, в прямоугольном треугольнике $LKM$ медиана к гипотенузе $KQ$ равна половине гипотенузы, т.е. $KQ = \frac{1}{2} LM$.

Из условия 4, $KP = KQ$, следовательно, $KP = \frac{1}{2} LM$.

Пусть $KP = k$. Тогда $LK = LP + KP = 2 + k$.

Также, поскольку $KQ = \frac{1}{2} LM$ и $QM = \frac{1}{2} LM$, то $QM = k$, и $LM = 2k$.

По теореме Пифагора для $\triangle LKM$:

$LK^2 + KM^2 = LM^2$

$(2+k)^2 + 3^2 = (2k)^2$

$4 + 4k + k^2 + 9 = 4k^2$

$3k^2 - 4k - 13 = 0$

Найдем $k$ (используя формулу для корней квадратного уравнения):

$k = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-13)}}{2(3)}$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 156}}{6}$

$k = \frac{4 \pm \sqrt{172}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{43}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{43}}{3}$

Поскольку $k$ является длиной, оно должно быть положительным, поэтому $k = \frac{2 + \sqrt{43}}{3}$.

Теперь проверим условие $PQ \perp LM$. Примем $K$ за начало координат $(0,0)$.

Тогда $M=(3,0)$ и $L=(0, LK) = (0, 2+k) = (0, 2 + \frac{2+\sqrt{43}}{3}) = (0, \frac{8+\sqrt{43}}{3})$.

Координаты точки $Q$ (середины $LM$): $Q = (\frac{0+3}{2}, \frac{0 + \frac{8+\sqrt{43}}{3}}{2}) = (1.5, \frac{8+\sqrt{43}}{6})$.

Координаты точки $P$ (на $LK$, расстояние $KP=k$ от $K$): $P = (0, k) = (0, \frac{2+\sqrt{43}}{3})$.

Вектор $\vec{LM} = M - L = (3 - 0, 0 - \frac{8+\sqrt{43}}{3}) = (3, -\frac{8+\sqrt{43}}{3})$.

Вектор $\vec{PQ} = Q - P = (1.5 - 0, \frac{8+\sqrt{43}}{6} - \frac{2+\sqrt{43}}{3}) = (1.5, \frac{8+\sqrt{43} - 4 - 2\sqrt{43}}{6}) = (1.5, \frac{4-\sqrt{43}}{6})$.

Для того чтобы $PQ \perp LM$, скалярное произведение векторов $\vec{PQ} \cdot \vec{LM}$ должно быть равно нулю:

$\vec{PQ} \cdot \vec{LM} = (1.5)(3) + (\frac{4-\sqrt{43}}{6})(-\frac{8+\sqrt{43}}{3})$

$= 4.5 - \frac{(4-\sqrt{43})(8+\sqrt{43})}{18}$

$= 4.5 - \frac{32 + 4\sqrt{43} - 8\sqrt{43} - 43}{18}$

$= 4.5 - \frac{-11 - 4\sqrt{43}}{18}$

$= 4.5 + \frac{11 + 4\sqrt{43}}{18}$

Это значение явно не равно нулю (так как все слагаемые положительны).Следовательно, условие $PQ \perp LM$ противоречит остальным условиям на рисунке 14.18, и на рисунке 14.18 допущена ошибка.

Рис. 14.17

В треугольнике ABC проведена высота BD к стороне AC, следовательно, $BD \perp AC$. Это означает, что треугольники ABD и CBD являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AD^2 + BD^2$. Подставим известные из рисунка значения: $AB=5$ и $AD=4$.

$5^2 = 4^2 + BD^2$

$25 = 16 + BD^2$

$BD^2 = 25 - 16 = 9$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Также по теореме Пифагора: $BC^2 = CD^2 + BD^2$. Подставим известные значения: $BC=4$ и $CD=2$.

$4^2 = 2^2 + BD^2$

$16 = 4 + BD^2$

$BD^2 = 16 - 4 = 12$

В результате расчетов мы получили два разных значения для квадрата длины одного и того же отрезка BD ($BD^2=9$ и $BD^2=12$). Это является противоречием. Следовательно, заданные на рисунке длины сторон не могут существовать в одном треугольнике при указанных условиях.

Ответ: Да, на рисунке есть ошибка.

Рис. 14.18

На рисунке изображен треугольник LKM. Угол LKM обозначен как прямой ($ \angle LKM = 90^\circ $), следовательно, треугольник LKM — прямоугольный. Длина катета $KM = 3$. Катет LK состоит из двух отрезков LP и PK. Штрихами обозначено, что $LP = PK$. Так как $LP=2$, то и $PK=2$, а вся длина катета $LK = LP + PK = 2 + 2 = 4$.

Найдем длину гипотенузы LM по теореме Пифагора:

$LM^2 = LK^2 + KM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$LM = \sqrt{25} = 5$

Точка Q на гипотенузе LM отмечена так, что $LQ=QM$ (показано двойными штрихами). Это значит, что Q — середина гипотенузы. Тогда длина отрезка LQ равна:

$LQ = \frac{1}{2} LM = \frac{5}{2} = 2.5$

Также на рисунке указано, что отрезок $PQ \perp LM$, то есть угол $\angle PQL = 90^\circ$. Это означает, что треугольник LPQ должен быть прямоугольным, а его гипотенуза LP (сторона, лежащая напротив прямого угла) должна быть длиннее катета LQ. То есть, должно выполняться неравенство $LP > LQ$.

Однако, по данным с рисунка, $LP = 2$, а мы вычислили, что $LQ = 2.5$. Неравенство $2 > 2.5$ неверно. Это противоречие.

Следовательно, условия, представленные на рисунке (что Q — середина LM и что $\angle PQL = 90^\circ$ одновременно), несовместимы.

Ответ: Да, на рисунке есть ошибка.

28. Какой из треугольников ABC, KLM, PQR имеет наименьший периметр (рис. 14.19)?

Рис. 14.19

Для того чтобы определить, какой из треугольников имеет наименьший периметр, необходимо вычислить периметр каждого треугольника. Периметр равен сумме длин всех его сторон. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1. Длины сторон, не параллельных осям координат, вычислим по теореме Пифагора.

Вычисление периметра треугольника ABC

Вершины треугольника ABC имеют координаты A(0, 5), B(4, 5), C(0, 3).Сторона AC — вертикальная, ее длина $AC = 5 - 3 = 2$.Сторона AB — горизонтальная, ее длина $AB = 4 - 0 = 4$.Длину стороны BC найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 2 (разность y-координат) и 4 (разность x-координат):$BC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.Периметр треугольника ABC: $P_{ABC} = AB + AC + BC = 4 + 2 + 2\sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5}$.

Вычисление периметра треугольника KLM

Вершины треугольника KLM имеют координаты K(1, 3), L(3, 2), M(2, 0).Длина стороны KL, построенной на катетах 2 и 1, равна: $KL = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.Длина стороны LM, построенной на катетах 1 и 2, равна: $LM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.Длина стороны KM, построенной на катетах 1 и 3, равна: $KM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.Периметр треугольника KLM: $P_{KLM} = KL + LM + KM = \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{10} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Вычисление периметра треугольника PQR

Вершины треугольника PQR имеют координаты P(5, 6), Q(7, 4), R(5, 2).Сторона PR — вертикальная, ее длина $PR = 6 - 2 = 4$.Длина стороны PQ, построенной на катетах 2 и 2, равна: $PQ = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Длина стороны QR, построенной на катетах 2 и 2, равна: $QR = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Периметр треугольника PQR: $P_{PQR} = PR + PQ + QR = 4 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2}$.

Сравнение периметров и итоговый вывод

Теперь сравним полученные периметры. Для удобства сравнения можно использовать их приблизительные значения, взяв $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{5} \approx 2.24$, $\sqrt{10} \approx 3.16$.

$P_{ABC} = 6 + 2\sqrt{5} \approx 6 + 2 \times 2.24 = 6 + 4.48 = 10.48$

$P_{KLM} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \approx 2 \times 2.24 + 3.16 = 4.48 + 3.16 = 7.64$

$P_{PQR} = 4 + 4\sqrt{2} \approx 4 + 4 \times 1.41 = 4 + 5.64 = 9.64$

Сравнивая полученные значения, видим, что $7.64 < 9.64 < 10.48$. Таким образом, $P_{KLM} < P_{PQR} < P_{ABC}$.Следовательно, наименьший периметр у треугольника KLM.

Ответ: треугольник KLM.

29. Группа туристов прошла 7 км на юг, затем 4 км на восток и столько же на север. На какое расстояние ушли туристы от начальной точки пути?

Для решения этой задачи представим перемещения туристов в виде векторов на координатной плоскости. Примем начальную точку пути за начало координат (0,0). Ось Y направим на север, а ось X — на восток.

1. Первое перемещение: 7 км на юг. Это соответствует смещению по оси Y на -7. Координаты туристов становятся (0, -7).

2. Второе перемещение: 4 км на восток. Это соответствует смещению по оси X на +4. Координаты туристов становятся (0+4, -7), то есть (4, -7).

3. Третье перемещение: "столько же на север". Это означает, что туристы прошли на север расстояние, равное последнему пройденному, то есть 4 км. Это соответствует смещению по оси Y на +4. Финальные координаты туристов: (4, -7+4), то есть (4, -3).

Теперь необходимо найти расстояние от начальной точки (0,0) до конечной точки (4, -3). Это расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны абсолютным значениям координат конечной точки.

Один катет (смещение на восток) равен 4 км.

Второй катет (итоговое смещение на юг) равен $7 \text{ км} - 4 \text{ км} = 3 \text{ км}$.

Используем теорему Пифагора, где $d$ — искомое расстояние (гипотенуза), а $a$ и $b$ — катеты:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Подставим значения катетов:

$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ км.

Ответ: 5 км.

30. Чему равно расстояние от точки C на берегу реки до плота, находящегося в точке A (рис. 14.20), если $\angle ACB = 45^\circ$, $BC = 60$ м?

Рис. 14.20

Для нахождения расстояния от точки С до плота А рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, изображенный на рисунке.

По условию задачи и из рисунка нам известно:
- Треугольник ABC — прямоугольный, так как угол B обозначен прямым углом, следовательно, $ \angle ABC = 90^\circ $.
- Длина катета $BC = 60$ м.
- Угол $ \angle ACB = 45^\circ $.
Искомое расстояние — это длина гипотенузы AC.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Мы можем найти величину угла BAC:
$ \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB $
$ \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $

Поскольку в треугольнике ABC два угла равны ($ \angle ACB = \angle BAC = 45^\circ $), то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. Следовательно, катет AB равен катету BC:
$ AB = BC = 60 $ м.

Теперь, зная длины обоих катетов, мы можем найти длину гипотенузы AC по теореме Пифагора: $ a^2 + b^2 = c^2 $.
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
$ AC^2 = 60^2 + 60^2 = 3600 + 3600 = 7200 $
Чтобы найти AC, извлечем квадратный корень из 7200:
$ AC = \sqrt{7200} = \sqrt{3600 \cdot 2} = \sqrt{3600} \cdot \sqrt{2} = 60\sqrt{2} $ м.

Таким образом, расстояние от точки C до плота A равно $ 60\sqrt{2} $ м.
Ответ: $ 60\sqrt{2} $ м.

31. Пункты А, В и С, стоящие на берегах реки, расположены в вершинах прямоугольного равнобедренного треугольника, а пункты А, D и С лежат на одной прямой, причем пункт D одинаково удален от А и С (рис. 14.21). Как определить расстояние между любыми двумя пунктами?

Рис. 14.21

Для определения расстояния между любыми двумя пунктами необходимо сначала проанализировать их геометрическое расположение, затем измерить одно базовое расстояние, после чего все остальные расстояния можно будет вычислить.

1. Анализ геометрической конфигурации

Из условия задачи и рисунка следует:

• Пункты A, B и C являются вершинами прямоугольного равнобедренного треугольника. Прямой угол находится в вершине B, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Катеты треугольника равны: $AB = BC$. Сторона AC является гипотенузой.
• Пункты A, D и C лежат на одной прямой. Точка D равноудалена от A и C, следовательно, D — это середина отрезка AC.

Таким образом, для нахождения всех расстояний достаточно измерить на местности длину одного отрезка. Наиболее удобным для измерения является расстояние AC, так как точки A, D и C лежат на одной прямой (предположительно на одном берегу реки). Обозначим измеренное расстояние AC как $L$.

2. Расчет расстояний на основе измеренного $AC = L$

Расстояния AD и CD

Поскольку точка D является серединой отрезка AC, то расстояния от нее до концов отрезка равны половине его длины.

$AD = CD = \frac{1}{2} AC = \frac{L}{2}$

Ответ: Расстояния AD и CD равны половине измеренного расстояния AC.

Расстояния AB и BC

В прямоугольном треугольнике ABC применим теорему Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$. Так как треугольник равнобедренный и $AB = BC$, получаем:

$2AB^2 = AC^2$

Отсюда находим длину катетов:

$AB = BC = \sqrt{\frac{AC^2}{2}} = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{AC\sqrt{2}}{2}$

Подставив $AC = L$, получаем:

$AB = BC = \frac{L\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Расстояния AB и BC вычисляются путем умножения измеренного расстояния AC на величину $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (что примерно равно 0,707).

Расстояние BD

Отрезок BD соединяет вершину B с серединой гипотенузы AC, то есть является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине длины гипотенузы.

$BD = \frac{1}{2} AC = \frac{L}{2}$

Ответ: Расстояние BD равно половине измеренного расстояния AC (и, следовательно, равно расстояниям AD и CD).

32. Арабская задача.

На разных берегах реки растет по пальме. Высота одной — 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность реки между пальмами (рис. 14.22). Птицы кинулись разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба?

Рис. 14.22

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Пусть $h_1$ — высота более высокой пальмы, а $h_2$ — высота менее высокой. Пусть $D$ — расстояние между основаниями пальм.

Дано:

$h_1 = 30$ локтей

$h_2 = 20$ локтей

$D = 50$ локтей

Обозначим искомое расстояние от основания более высокой пальмы до места, где всплыла рыба, через $x$. Тогда расстояние от места, где всплыла рыба, до основания менее высокой пальмы будет равно $D - x$, то есть $50 - x$.

Птицы сидят на верхушках пальм. Когда они летят к рыбе, их траектории образуют гипотенузы двух прямоугольных треугольников.

Для первой птицы (с более высокой пальмы) катетами треугольника являются высота пальмы $h_1$ и расстояние по поверхности реки $x$. Длина пути первой птицы, обозначим её $d_1$, по теореме Пифагора равна:

$d_1^2 = h_1^2 + x^2 = 30^2 + x^2$

Для второй птицы (с менее высокой пальмы) катетами являются высота пальмы $h_2$ и расстояние по поверхности реки $50 - x$. Длина пути второй птицы, обозначим её $d_2$, равна:

$d_2^2 = h_2^2 + (50 - x)^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

По условию задачи, птицы кинулись разом и достигли рыбы одновременно. Это означает, что они летели с одинаковой скоростью и пролетели одинаковое расстояние. Следовательно, $d_1 = d_2$, а значит и $d_1^2 = d_2^2$.

Приравняем выражения для квадратов расстояний:

$30^2 + x^2 = 20^2 + (50 - x)^2$

Теперь решим это уравнение:

$900 + x^2 = 400 + (2500 - 100x + x^2)$

$900 + x^2 = 400 + 2500 - 100x + x^2$

Сократим $x^2$ в обеих частях уравнения:

$900 = 2900 - 100x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$100x = 2900 - 900$

$100x = 2000$

$x = \frac{2000}{100}$

$x = 20$

Таким образом, расстояние от более высокой пальмы до места, где всплыла рыба, составляет 20 локтей.

Ответ: рыба всплыла на расстоянии 20 локтей от более высокой пальмы.