Страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Укажите какие-нибудь тройки пифагорейских чисел.

Пифагорейская тройка — это упорядоченный набор из трёх натуральных чисел $(a, b, c)$, для которых выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, известное как теорема Пифагора. Эти числа представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Вот несколько примеров таких троек:

Самая известная пифагорейская тройка — это (3, 4, 5). Для неё справедливо равенство: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, что равно $5^2$.

Другим распространённым примером является тройка (5, 12, 13). Проверка показывает, что $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, и $13^2$ также равно $169$.

Ещё одна тройка — (8, 15, 17). Для неё выполняется равенство $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$, что равно $17^2$.

Также можно привести в пример тройку (7, 24, 25), так как $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$, что является квадратом числа $25$.

Существуют и так называемые непримитивные пифагорейские тройки, которые получаются умножением чисел примитивной тройки на один и тот же множитель. Например, умножив тройку (3, 4, 5) на 2, получим тройку (6, 8, 10), для которой также выполняется равенство: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Ответ: (3, 4, 5); (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25).

6. Найдите синус и косинус угла А прямоугольного треугольника АВС, изображенного на рисунке 14.6.

а)

б)

Рис. 14.6

a) Чтобы найти синус и косинус угла А в прямоугольном треугольнике ABC, необходимо знать длины его сторон. Примем длину стороны одной клетки на рисунке за единицу.

Из рисунка видно, что катет AC, прилежащий к углу A, имеет длину 4 единицы. Катет BC, противолежащий углу A, имеет длину 3 единицы. Угол C является прямым.

Для нахождения синуса и косинуса нам понадобится длина гипотенузы AB. Найдем ее по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{3}{5}$; $\cos(A) = \frac{4}{5}$.

б) Аналогично поступим для треугольника, изображенного на втором рисунке.

Определим длины катетов по клеткам:
Катет AC (прилежащий к углу A) равен 3 единицам.
Катет BC (противолежащий углу A) равен 4 единицам.

Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь вычислим синус и косинус угла A:
$\sin(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$.
$\cos(A) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{4}{5}$; $\cos(A) = \frac{3}{5}$.

7. Найдите длины отрезков, изображенных на рисунке 14.7. Стороны клеток равны 1.

Рис. 14.7

Отрезок AB
Для нахождения длины отрезка, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать теорему Пифагора. Рассмотрим отрезок AB как гипотенузу прямоугольного треугольника. Катетами этого треугольника будут его проекции на горизонтальную и вертикальную оси. Длина стороны клетки равна 1.
Горизонтальная проекция отрезка AB составляет 2 клетки, следовательно, длина этого катета равна 2.
Вертикальная проекция отрезка AB составляет 1 клетку, следовательно, длина этого катета равна 1.
По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$):
$AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$.

Отрезок CD
Аналогично, найдем длину отрезка CD. Его проекции на оси являются катетами прямоугольного треугольника.
Длина горизонтального катета равна 3.
Длина вертикального катета равна 1.
По теореме Пифагора:
$CD = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{10}$.

Отрезок EF
Найдем длину отрезка EF, используя тот же метод.
Длина горизонтального катета равна 4.
Длина вертикального катета равна 1.
По теореме Пифагора:
$EF = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{17}$.

8. Найдите стороны треугольника, изображенного на рисунке 14.8. Стороны клеток равны 1.

Рис. 14.8

Чтобы найти длины сторон треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, мы можем рассматривать каждую сторону как гипотенузу прямоугольного треугольника. Катеты этих прямоугольных треугольников будут лежать на линиях сетки. По условию, сторона каждой клетки равна 1. Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты.

Сторона AB
Для нахождения длины стороны AB построим прямоугольный треугольник, где AB является гипотенузой. Длина горизонтального катета, построенного от точки A, равна 4 клеткам. Длина вертикального катета, построенного до точки B, равна 2 клеткам.
Применим теорему Пифагора:
$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$
Следовательно, длина стороны AB равна:
$AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Ответ: $2\sqrt{5}$.

Сторона BC
Для стороны BC построим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными линиям сетки. Горизонтальный катет имеет длину 3 клетки (разница по горизонтали между B и C), а вертикальный катет — 2 клетки (разница по вертикали).
Применим теорему Пифагора:
$BC^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
Следовательно, длина стороны BC равна:
$BC = \sqrt{13}$
Ответ: $\sqrt{13}$.

Сторона AC
Для стороны AC построим прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет имеет длину 1 клетку (разница по горизонтали между A и C), а вертикальный катет — 4 клетки (разница по вертикали).
Применим теорему Пифагора:
$AC^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$
Следовательно, длина стороны AC равна:
$AC = \sqrt{17}$
Ответ: $\sqrt{17}$.

9. Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором:

а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см;

б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов – $5:12$.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию задачи, гипотенуза $c = 10$ см, а разность катетов равна 2 см. Пусть $a$ - больший катет, а $b$ - меньший, тогда $a - b = 2$, откуда можно выразить $a = b + 2$. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим известные значения и выражение для $a$ в это уравнение: $(b + 2)^2 + b^2 = 10^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $b^2 + 4b + 4 + b^2 = 100$ $2b^2 + 4b - 96 = 0$ Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $b^2 + 2b - 48 = 0$ Это квадратное уравнение. Решим его. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$ $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$ Найдем значения для $b$: $b_1 = \frac{-2 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$ $b_2 = \frac{-2 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$ Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, корень $b_2 = -8$ не подходит. Следовательно, длина одного катета $b = 6$ см. Теперь найдем длину второго катета $a$: $a = b + 2 = 6 + 2 = 8$ см. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.
Ответ: стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см.

б) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. По условию, гипотенуза $c = 26$ см, а отношение катетов $a:b = 5:12$. Из отношения катетов следует, что их длины можно представить как $a = 5x$ и $b = 12x$, где $x$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Применим теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим выражения для $a$, $b$ и значение $c$: $(5x)^2 + (12x)^2 = 26^2$ Возведем в квадрат: $25x^2 + 144x^2 = 676$ Сложим слагаемые с $x^2$: $169x^2 = 676$ Найдем $x^2$: $x^2 = \frac{676}{169} = 4$ Найдем $x$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны должна быть положительной, берем только положительное значение корня: $x = \sqrt{4} = 2$ Теперь найдем длины катетов, подставив значение $x$: $a = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см. $b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.
Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 24 см и 26 см.

10. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Из условий задачи составим систему уравнений.

Первое условие: "Гипотенуза на 1 больше одного из катетов". Предположим, что это катет $a$. Тогда получаем уравнение:
$c = a + 1$

Второе условие: "сумма катетов на 4 больше гипотенузы". Это дает нам второе уравнение:
$a + b = c + 4$

Так как треугольник прямоугольный, для него справедлива теорема Пифагора, которая дает третье уравнение:
$a^2 + b^2 = c^2$

Теперь необходимо решить полученную систему уравнений:
1) $c = a + 1$
2) $a + b = c + 4$
3) $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражение для $c$ из уравнения (1) в уравнение (2):
$a + b = (a + 1) + 4$
$a + b = a + 5$
Вычтем $a$ из обеих частей уравнения и получим длину катета $b$:
$b = 5$

Теперь подставим $b = 5$ и $c = a + 1$ в уравнение (3) (теорему Пифагора), чтобы найти катет $a$:
$a^2 + 5^2 = (a + 1)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$a^2 + 25 = a^2 + 2a + 1$
$25 = 2a + 1$
$24 = 2a$
$a = 12$

Мы нашли длины обоих катетов. Теперь найдем длину гипотенузы $c$, используя уравнение (1):
$c = a + 1 = 12 + 1 = 13$

Проверим, удовлетворяют ли найденные стороны ($a=12$, $b=5$, $c=13$) всем условиям задачи:
1. Гипотенуза (13) на 1 больше катета (12): $13 = 12 + 1$. Верно.
2. Сумма катетов ($12 + 5 = 17$) на 4 больше гипотенузы (13): $17 = 13 + 4$. Верно.
3. Теорема Пифагора: $12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$, и $13^2 = 169$. Верно.

Ответ: Стороны треугольника равны 5, 12 и 13.

11. Диагональ квадрата равна 2. Найдите его сторону.

11. Для нахождения стороны квадрата по его диагонали можно использовать теорему Пифагора. Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника. В этих треугольниках стороны квадрата являются катетами, а сама диагональ — гипотенузой.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ равна $d$. По условию задачи, $d = 2$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Для нашего случая это записывается так:

$a^2 + a^2 = d^2$

Упростим выражение:

$2a^2 = d^2$

Теперь подставим известное значение диагонали $d = 2$ в полученную формулу:

$2a^2 = 2^2$

$2a^2 = 4$

Чтобы найти квадрат стороны ($a^2$), разделим обе части уравнения на 2:

$a^2 = \frac{4}{2}$

$a^2 = 2$

Для того чтобы найти длину стороны $a$, необходимо извлечь квадратный корень из 2. Так как длина стороны может быть только положительным числом, мы берем арифметический (положительный) корень:

$a = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

12. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 1.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a = 1$. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. Проведем в этом треугольнике высоту $h$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка.

Высота $h$ делит исходный равносторонний треугольник на два одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Гипотенузой этого прямоугольного треугольника является сторона исходного треугольника, то есть ее длина равна $1$. Один из катетов — это половина основания, так как высота является медианой. Длина этого катета равна $1/2$. Второй катет — это и есть искомая высота $h$.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим гипотенузу как $c$, а катеты как $k_1$ и $k_2$. Тогда $c^2 = k_1^2 + k_2^2$. Подставим наши значения:

$1^2 = (\frac{1}{2})^2 + h^2$

Выполним вычисления:

$1 = \frac{1}{4} + h^2$

Теперь выразим $h^2$:

$h^2 = 1 - \frac{1}{4}$

$h^2 = \frac{3}{4}$

Чтобы найти $h$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина высоты является положительной величиной, берем положительное значение корня:

$h = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

13. Найдите высоту, опущенную на основание равнобедренного треугольника со сторонами 5, 5, 6.

В равнобедренном треугольнике со сторонами 5, 5 и 6 боковыми сторонами являются равные стороны длиной 5, а основанием — сторона длиной 6.

Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, по свойству является одновременно и его медианой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка. Длина каждого из этих отрезков равна половине длины основания:
$ \frac{6}{2} = 3 $

Высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник, в котором:
• гипотенуза — это боковая сторона (равна 5),
• один катет — это половина основания (равен 3),
• второй катет — искомая высота (обозначим ее как $h$).

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известные значения в формулу:
$h^2 + 3^2 = 5^2$
Выполним вычисления:
$h^2 + 9 = 25$
Теперь найдем $h^2$:
$h^2 = 25 - 9$
$h^2 = 16$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти $h$:
$h = \sqrt{16}$
$h = 4$

Таким образом, высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна 4.

Ответ: 4

14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно 1, а высота равна 2. Изобразите эту окружность.

Обозначим равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB=BC$ — боковые стороны. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию. По условию задачи, длина основания $AC = 1$, а высота $BH = 2$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ делит основание $AC$ пополам. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. Нам нужно найти длины боковых сторон и площадь треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = (0.5)^2 + 2^2 = 0.25 + 4 = 4.25$
$AB = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.
Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = \frac{\sqrt{17}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Подставим найденные значения длин сторон ($a = \frac{\sqrt{17}}{2}, b = \frac{\sqrt{17}}{2}, c = 1$) и площади ($S=1$) в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{\frac{17}{4}}{4} = \frac{17}{16}$.

Таким образом, радиус описанной окружности равен $\frac{17}{16}$.

Изображение треугольника с описанной около него окружностью:

Ответ: Радиус описанной окружности равен $R = \frac{17}{16}$ (или 1.0625).

15. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно 2, а высота равна 1. Изобразите эту окружность.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BH$, проведенной к основанию. По условию задачи, длина основания $AC = 2$, а длина высоты $BH = 1$.

Нахождение радиуса окружности

Для решения задачи можно использовать два основных способа.

Способ 1: Через общую формулу радиуса описанной окружности
Радиус $R$ описанной около любого треугольника окружности вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.
1. Найдем площадь треугольника $S$. Она равна половине произведения основания на высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.
2. Найдем длины боковых сторон. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ – середина основания $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $BC$: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $BC = \sqrt{2}$. Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = \sqrt{2}$.
3. Теперь, зная все стороны ($AC=2, AB=\sqrt{2}, BC=\sqrt{2}$) и площадь ($S=1$), вычисляем радиус: $R = \frac{AC \cdot AB \cdot BC}{4S} = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4 \cdot 1} = \frac{2 \cdot 2}{4} = 1$.

Способ 2: Через свойства прямоугольного треугольника
Проверим, является ли наш треугольник прямоугольным, используя найденные длины сторон. Для этого применим теорему, обратную теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$. $AC^2 = 2^2 = 4$. Так как $AB^2 + BC^2 = AC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а его основание $AC$ — гипотенузой. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы, а радиус равен половине ее длины. $R = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Этот способ подтверждает результат, полученный ранее.

Изображение окружности

Из решения следует, что центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой основания треугольника, точкой $H$. Радиус окружности $R=1$. Вершины $A$ и $C$ удалены от центра $O$ на расстояние $1$ (так как $AH=HC=1$). Вершина $B$ также удалена от центра $O$ на расстояние $1$, так как высота $BH=1$. Таким образом, все три вершины лежат на окружности с центром в точке $H$ и радиусом $1$.

Ответ: 1.