Страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Докажите, что для любого острого угла A выполняются неравенства:

а) $ \sin A < \operatorname{tg} A; $

б) $ \cos A < \operatorname{ctg} A. $

а)

Требуется доказать, что для любого острого угла $A$ (то есть $0^\circ < A < 90^\circ$) выполняется неравенство $ \sin A < \operatorname{tg} A $.

По определению тангенса, $ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} $. Подставим это выражение в наше неравенство:

$ \sin A < \frac{\sin A}{\cos A} $

Поскольку угол $A$ острый, $ \sin A > 0 $. Мы можем разделить обе части неравенства на $ \sin A $ без изменения знака неравенства:

$ 1 < \frac{1}{\cos A} $

Так как для острого угла $A$ косинус также положителен ($ \cos A > 0 $), мы можем умножить обе части неравенства на $ \cos A $, опять же без изменения знака неравенства:

$ \cos A < 1 $

Это неравенство верно для любого острого угла $A$, поскольку косинус равен 1 только при $A=0^\circ$ (и кратных $360^\circ$), а для всех углов в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ значение косинуса строго меньше 1. Так как мы пришли к верному неравенству с помощью эквивалентных преобразований, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Требуется доказать, что для любого острого угла $A$ (то есть $0^\circ < A < 90^\circ$) выполняется неравенство $ \cos A < \operatorname{ctg} A $.

По определению котангенса, $ \operatorname{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A} $. Подставим это выражение в наше неравенство:

$ \cos A < \frac{\cos A}{\sin A} $

Поскольку угол $A$ острый, $ \cos A > 0 $. Мы можем разделить обе части неравенства на $ \cos A $ без изменения знака неравенства:

$ 1 < \frac{1}{\sin A} $

Так как для острого угла $A$ синус также положителен ($ \sin A > 0 $), мы можем умножить обе части неравенства на $ \sin A $, не меняя знак неравенства:

$ \sin A < 1 $

Это неравенство верно для любого острого угла $A$, поскольку синус равен 1 только при $A=90^\circ$, а для всех углов в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ значение синуса строго меньше 1. Так как мы пришли к верному неравенству с помощью эквивалентных преобразований, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

21. Постройте угол, синус которого равен:

а) 0,4;

б) 0,6.

а) Для построения угла, синус которого равен 0,4, мы воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.
Сначала представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: $ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Это значит, что нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий искомому углу, равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 5 таким же единицам.
Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол. Обозначим его вершину буквой C.
2. На одной из сторон угла отложим от вершины C отрезок CB длиной 2 единицы (например, 2 см). Это будет катет, противолежащий искомому углу.
3. Установим раствор циркуля равным 5 единицам (длине гипотенузы).
4. Поместим острие циркуля в точку B и проведем дугу так, чтобы она пересекла вторую сторону прямого угла. Точку пересечения назовем A.
5. Соединим точки A и B отрезком. Мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
В этом треугольнике угол A — острый, противолежащий ему катет — CB, а гипотенуза — AB. По построению, $ \sin(\angle A) = \frac{CB}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4 $.
Следовательно, угол A (или $ \angle CAB $) — это искомый угол.
Ответ: Искомым является угол $A$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$), у которого катет $CB$, противолежащий углу $A$, равен 2 единицам, а гипотенуза $AB$ равна 5 единицам.

б) Аналогично выполним построение для угла, синус которого равен 0,6.
Представим 0,6 в виде дроби: $ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
В этом случае нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором катет, противолежащий искомому углу, равен 3 условным единицам, а гипотенуза — 5 таким же единицам.
Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке C.
2. На одной из его сторон отложим катет CB, равный 3 единицам.
3. Из точки B, как из центра, проведем дугу окружности радиусом 5 единиц (длина гипотенузы).
4. Точку пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла обозначим буквой A.
5. Соединим точки A и B. Получим прямоугольный треугольник ABC.
В построенном треугольнике $ \sin(\angle A) = \frac{CB}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6 $.
Значит, угол A (или $ \angle CAB $) является искомым.
Ответ: Искомым является угол $A$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$), у которого катет $CB$, противолежащий углу $A$, равен 3 единицам, а гипотенуза $AB$ равна 5 единицам.

22. Постройте угол, косинус которого равен:

а) $0,2$;

б) $0,8$.

а)

Для построения угла, косинус которого равен 0,2, мы воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

1. Сначала представим значение косинуса в виде обыкновенной дроби: $cos(\alpha) = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

2. Это означает, что мы должны построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет и гипотенуза соотносятся как 1 к 5. Мы можем выбрать для них любые удобные длины, сохраняя это отношение, например, прилежащий катет будет равен 1 см, а гипотенуза — 5 см.

3. Выполним построение:

- Проведём прямую и выберем на ней точку С.

- Отложим от точки C отрезок CA длиной 1 единицу (например, 1 клетка или 1 см). Этот отрезок будет служить прилежащим катетом.

- В точке C восстановим перпендикуляр к прямой AC.

- С помощью циркуля возьмём раствор, равный 5 единицам. Установим ножку циркуля в точку A и проведём дугу так, чтобы она пересекла перпендикуляр. Назовём точку пересечения B.

- Соединим точки A и B отрезком. Этот отрезок AB — гипотенуза нашего треугольника, и её длина равна 5 единицам.

- Мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Угол $\angle CAB$ — это искомый угол, так как по построению его косинус равен $cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом равным 1 единице и гипотенузой равной 5 единицам.

б)

Построение угла с косинусом 0,8 выполняется аналогично.

1. Представим значение косинуса в виде дроби: $cos(\beta) = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

2. Нам необходимо построить прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к гипотенузе составляет 4 к 5. Возьмём прилежащий катет равным 4 единицам, а гипотенузу — 5 единицам.

3. Выполним построение:

- Проведём прямую и отметим на ней точку E.

- От точки E отложим отрезок ED длиной 4 единицы (прилежащий катет).

- В точке E построим перпендикуляр к прямой ED.

- Установим раствор циркуля равным 5 единицам. Поставив ножку циркуля в точку D, проведём дугу, пересекающую перпендикуляр в точке F.

- Соединим точки D и F. Отрезок DF — это гипотенуза длиной 5 единиц.

- В получившемся прямоугольном треугольнике DEF с прямым углом E, угол $\angle EDF$ будет искомым. Его косинус равен $cos(\angle EDF) = \frac{DE}{DF} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с прилежащим катетом равным 4 единицам и гипотенузой равной 5 единицам (такой треугольник также известен как "египетский" с катетами 3, 4 и гипотенузой 5).

23. Вычислите длину неизвестного отрезка на рисунке 13.9.

a)

В треугольнике $\triangle AEF$ угол $\angle F = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

$AE^2 = AF^2 + EF^2$

$AE^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$AE = \sqrt{13}$

Так как $E$ лежит на $AB$, $AB = AE + EB = \sqrt{13} + 1$.

Так как $EF \perp AC$ и $BC \perp AC$, то $EF \parallel BC$.

Следовательно, треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ABC$ подобны.

Из подобия следует соотношение сторон:

$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$

$\frac{2}{BC} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + 1}$

$BC = \frac{2(\sqrt{13} + 1)}{\sqrt{13}} = 2 \left(1 + \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = 2 + \frac{2}{\sqrt{13}}$

$BC = 2 + \frac{2\sqrt{13}}{13}$

б)

В треугольнике $\triangle LKM$ угол $\angle L = 90^\circ$.

Так как $N$ - середина $KM$ (отмечено равными штрихами $KN = NM$) и $PN \perp KM$, то $PN$ является и медианой, и высотой треугольника $\triangle PKM$. Следовательно, $\triangle PKM$ - равнобедренный, и $PM = PK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle LKM$:

$\sin(\angle M) = \frac{LK}{KM} = \frac{3}{KM}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle PNM$:

$\sin(\angle M) = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{PM}$

Следовательно:

$\frac{3}{KM} = \frac{2}{PM}$

$PM = \frac{2 \cdot KM}{3}$

Так как $N$ - середина $KM$, то $KM = 2 \cdot NM$.

Подставим это в предыдущее уравнение:

$PM = \frac{2 \cdot (2 \cdot NM)}{3} = \frac{4 \cdot NM}{3}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle PNM$ по теореме Пифагора:

$PM^2 = PN^2 + NM^2$

$PM^2 = 2^2 + NM^2 = 4 + NM^2$

Теперь подставим выражение для $PM$:

$\left(\frac{4 \cdot NM}{3}\right)^2 = 4 + NM^2$

$\frac{16 \cdot NM^2}{9} = 4 + NM^2$

$16 \cdot NM^2 = 36 + 9 \cdot NM^2$

$7 \cdot NM^2 = 36$

$NM^2 = \frac{36}{7}$

$NM = \sqrt{\frac{36}{7}} = \frac{6}{\sqrt{7}}$

Теперь найдем $PM$:

$PM = \frac{4 \cdot NM}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$

$PM = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

а) Рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$. Так как отрезки $EF$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу ($EF \parallel BC$). Следовательно, треугольники $AEF$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $A$ — общий, а углы $\angle AEF$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AB$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}$.
Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $EB$: $AB = AE + EB = 3 + 1 = 4$.
Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{3}{4} = \frac{2}{BC}$.
Отсюда находим $BC$: $3 \cdot BC = 4 \cdot 2$, $3 \cdot BC = 8$, $BC = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) По условию, отрезок $PN$ перпендикулярен отрезку $KM$ ($PN \perp KM$) и точка $N$ является серединой отрезка $KM$ ($KN = NM$). Это означает, что в треугольнике $KPM$ отрезок $PN$ является одновременно высотой и медианой. Треугольник, в котором высота к стороне совпадает с медианой к этой же стороне, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $KPM$ — равнобедренный с основанием $KM$, и его боковые стороны равны: $PK = PM$.
Обозначим искомую длину $PM = x$, тогда и $PK = x$. Обозначим длину отрезка $LP = p$. В прямоугольном треугольнике $KLP$ (с прямым углом $L$) по теореме Пифагора имеем $PK^2 = KL^2 + LP^2$, что дает $x^2 = 3^2 + p^2$ или $x^2 - p^2 = 9$ (1).
Найдем площадь треугольника $KPM$ ($S_{KPM}$) двумя способами. Во-первых, $S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot PN = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot 2 = KM$. Во-вторых, площадь $S_{KPM}$ можно найти как разность площадей треугольников $KLM$ и $KLP$ (предполагая, что точка $P$ лежит между $L$ и $M$): $S_{KPM} = S_{KLM} - S_{KLP} = \frac{1}{2}KL \cdot LM - \frac{1}{2}KL \cdot LP = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (p+x) - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot p = \frac{3}{2}(p+x-p) = \frac{3}{2}x$. Приравнивая два выражения для площади, получаем $KM = \frac{3}{2}x$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KLM$. По теореме Пифагора: $KM^2 = KL^2 + LM^2$. Подставим известные величины: $(\frac{3}{2}x)^2 = 3^2 + (p+x)^2$. Раскроем скобки: $\frac{9}{4}x^2 = 9 + p^2 + 2px + x^2$.
Теперь решим систему из двух уравнений. Из уравнения (1) выразим $p^2 = x^2 - 9$ и подставим в полученное уравнение: $\frac{9}{4}x^2 = 9 + (x^2-9) + 2px + x^2$, что упрощается до $\frac{9}{4}x^2 = 2x^2 + 2px$. Перенесем члены с $x^2$ влево: $(\frac{9}{4}-2)x^2 = 2px \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 = 2px$. Так как $x$ — это длина, $x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $x$: $\frac{1}{4}x = 2p$, откуда $x = 8p$.
Подставим $x=8p$ в уравнение (1): $(8p)^2 - p^2 = 9 \Rightarrow 64p^2 - p^2 = 9 \Rightarrow 63p^2 = 9 \Rightarrow p^2 = \frac{9}{63} = \frac{1}{7}$.
Тогда $x^2 = (8p)^2 = 64p^2 = 64 \cdot \frac{1}{7} = \frac{64}{7}$. Искомая длина $x = \sqrt{\frac{64}{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{7}}{7}$.

24. Найдите неизвестные углы в прямоугольнике $ABCD$ (рис. 13.10, а) и в трапеции $KLMN$, у которой $KM \perp MN$, $KM : KN = \sqrt{3} : 2$ (рис. 13.10, б).

а)

б)

Рис. 13.10

а) Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, все его углы прямые ($\angle A = \angle C = 90^\circ$), а противоположные стороны равны ($CD = AB$, $BC = AD$). Из условия задачи известно, что $AB = \sqrt{3}$ и $MD = 2$. Одинаковые штрихи на отрезках $BM$ и $MD$ указывают на их равенство, следовательно, $BM = MD = 2$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Он является прямоугольным, так как угол $\angle A = 90^\circ$. Применим теорему Пифагора $AB^2 + AM^2 = BM^2$. Подставим известные значения: $(\sqrt{3})^2 + AM^2 = 2^2$ $3 + AM^2 = 4$ $AM^2 = 1$, откуда $AM = 1$. Теперь мы можем найти длину стороны $AD$: $AD = AM + MD = 1 + 2 = 3$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD = 3$ и $CD = AB = \sqrt{3}$. Искомый угол $\angle CDB$ находится в прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$ (с прямым углом $\angle C = 90^\circ$). Найдем тангенс угла $\angle CDB$, который равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $CD$: $\tan(\angle CDB) = \frac{BC}{CD} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $\angle CDB = 60^\circ$.

б) Дана трапеция $KLMN$, в которой, судя по рисунку, основаниями являются $LM$ и $KN$ ($LM \parallel KN$). По условию, диагональ $KM$ перпендикулярна боковой стороне $MN$, что означает $\angle KMN = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $\triangle KMN$ является прямоугольным. В этом прямоугольном треугольнике косинус угла $\angle MKN$ равен отношению прилежащего катета $KM$ к гипотенузе $KN$. Из условия $KM : KN = \sqrt{3} : 2$ следует: $\cos(\angle MKN) = \frac{KM}{KN} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$. Значит, $\angle MKN = 30^\circ$. Также по условию $KM$ является биссектрисой угла $\angle LKN$, что означает, что она делит этот угол пополам: $\angle LKM = \angle MKN = 30^\circ$. Следовательно, полный угол $\angle LKN$ равен сумме его частей: $\angle LKN = \angle LKM + \angle MKN = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $KL$ и параллельных оснований $LM$ и $KN$ имеем: $\angle KLM + \angle LKN = 180^\circ$. Отсюда можем найти второй неизвестный угол $\angle KLM$: $\angle KLM = 180^\circ - \angle LKN = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle LKN = 60^\circ$, $\angle KLM = 120^\circ$.

25. Чтобы измерить недоступное расстояние между точками $A$ и $B$ (рис. 13.11), строят отрезок $BC \perp AB$ и соединяют точки $A$ и $C$. Затем измеряют угол $C$ и отрезок $AC$ (или $BC$). Чему равно расстояние между точками $A$ и $B$?

Рис. 13.11

Для определения расстояния $AB$ мы используем прямоугольный треугольник $ABC$, который образуется построением отрезка $BC$, перпендикулярного $AB$. В этом треугольнике угол $B$ прямой ($\angle B = 90^\circ$), $AB$ и $BC$ — катеты, а $AC$ — гипотенуза. Решение зависит от того, какие именно величины были измерены на местности.

Измерены угол $C$ и отрезок $AC$

В данном случае известна длина гипотенузы $AC$ и величина острого угла $C$. Искомое расстояние $AB$ является катетом, противолежащим этому углу. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.

$\sin C = \frac{AB}{AC}$

Из этой формулы выражаем искомую длину $AB$:

$AB = AC \cdot \sin C$

Ответ: Расстояние между точками А и В равно произведению длины отрезка $AC$ на синус угла $C$.

Измерены угол $C$ и отрезок $BC$

В этом случае известна длина катета $BC$, прилежащего к углу $C$, и сам угол $C$. Искомое расстояние $AB$ — это катет, противолежащий углу $C$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла.

$\tan C = \frac{AB}{BC}$

Из этой формулы выражаем искомую длину $AB$:

$AB = BC \cdot \tan C$

Ответ: Расстояние между точками А и В равно произведению длины отрезка $BC$ на тангенс угла $C$.

26. Как, используя тригонометрию, измерить расстояние между точками A и B (рис. 13.12) ?

Рис. 13.12

Чтобы измерить расстояние между точками A и B, которые разделены препятствием (например, рекой, как на рисунке), можно использовать тригонометрический метод, основанный на решении треугольника. Этот метод называется триангуляцией.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать третью точку C, расположенную на местности так, чтобы из нее были видны точки A и B, и чтобы можно было измерить расстояние от нее до одной из исходных точек (например, до A). Отрезок AC будет являться базисом (основанием) для измерений.
2. Измерить длину базиса AC с помощью рулетки или дальномера. Обозначим эту длину как $b$.
3. С помощью угломерного инструмента (например, теодолита или астролябии) измерить углы треугольника ABC, которые можно измерить с доступной стороны. Это будут угол $\angle BAC$ (обозначим его $\alpha$) и угол $\angle ACB$ (обозначим его $\gamma$).
4. Точки A, B и C образуют треугольник. Зная два его угла ($\alpha$ и $\gamma$), можно найти третий угол, $\angle ABC$ (обозначим его $\beta$), поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$
5. Теперь у нас есть треугольник, в котором известна длина одной стороны ($AC = b$) и все три угла. Искомое расстояние AB (обозначим его $c$) можно найти, применив теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной для всех сторон данного треугольника:
$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
В наших обозначениях это выглядит так:
$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta}$
6. Из этого соотношения выражаем искомую сторону AB:
$AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(\angle ABC)}$
Подставив численные значения длины базиса и синусов измеренных углов, можно рассчитать расстояние между точками A и B.

Ответ: Необходимо выбрать на местности третью точку C, измерить расстояние AC (базис) и углы $\angle BAC$ и $\angle ACB$. Затем, используя теорему синусов, рассчитать расстояние AB по формуле $AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB)}$.

27. Находясь на некотором расстоянии от дерева, человек видит его верхушку под углом $\alpha$ (рис. 13.13). Как определить высоту дерева?

Рис. 13.13

Чтобы определить высоту дерева, необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Для этого потребуется провести несколько измерений и выполнить расчеты.

Шаг 1: Необходимые измерения
Нужно измерить три физические величины:
1. Расстояние от наблюдателя до дерева по горизонтали. Обозначим это расстояние как $d$. Его можно измерить рулеткой или шагами, зная длину своего шага.
2. Высоту от земли до уровня глаз наблюдателя. Обозначим эту высоту как $h$. Её можно измерить с помощью рулетки.
3. Угол $α$ между горизонталью на уровне глаз и направлением на верхушку дерева (угол возвышения). Этот угол можно измерить с помощью специального прибора, например, клинометра, или самодельного угломера с транспортиром и отвесом.

Шаг 2: Расчет высоты
Высота дерева $H$ состоит из двух частей: высоты до уровня глаз наблюдателя $h$ и высоты дерева над этой горизонталью, которую мы обозначим как $H_1$.
Таким образом, $H = h + H_1$.
Часть высоты $H_1$ является катетом прямоугольного треугольника, в котором второй катет — это расстояние $d$, а угол, противолежащий катету $H_1$, — это угол $α$.
Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{H_1}{d}$
Выразим из этой формулы $H_1$:
$H_1 = d \cdot \tan(\alpha)$
Теперь подставим это выражение в формулу для полной высоты дерева:
$H = h + d \cdot \tan(\alpha)$
Это и есть итоговая формула для расчета высоты дерева.

Ответ: Чтобы определить высоту дерева $H$, нужно измерить свой рост до уровня глаз $h$, расстояние до дерева $d$ и угол $α$, под которым видна верхушка дерева от горизонтали. Высота вычисляется по формуле: $H = h + d \cdot \tan(\alpha)$.

28. Человек спускается по канатной дороге под углом $7^\circ$ к поверхности земли с высоты $240 \text{ м}$. Чему равна длина спуска?

Для решения этой задачи мы можем представить ситуацию в виде прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:
- высота, с которой спускается человек, является катетом, противолежащим углу спуска. Обозначим его как $h = 240$ м.
- длина спуска по канатной дороге является гипотенузой. Обозначим ее как $L$.
- угол наклона дороги к поверхности земли (горизонту) равен $\alpha = 7^\circ$.

Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом в прямоугольном треугольнике определяется через синус угла:
$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $

Подставим наши значения в формулу:
$ \sin(7^\circ) = \frac{h}{L} = \frac{240}{L} $

Теперь выразим из этой формулы искомую длину спуска $L$:
$ L = \frac{240}{\sin(7^\circ)} $

Используя калькулятор, найдем значение $\sin(7^\circ)$:
$ \sin(7^\circ) \approx 0.12187 $

Теперь можем вычислить длину спуска:
$ L = \frac{240}{0.12187} \approx 1969.31$ м.

Округлим результат до десятых.
Ответ: Длина спуска равна примерно 1969,3 м.