Страница 55 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В равнобедренной трапеции один из углов равен $60^\circ$, боковая сторона равна 24 см, сумма оснований равна 43 см. Найдите основания:

A. 9,5 см; 33,5 см.

B. 19 см; 24 см.

C. 12 см; 31 см.

D. 21,5 см; 21,5 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, трапеция равнобедренная, следовательно, боковые стороны равны $AB = CD = 24$ см, и углы при основаниях равны. В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Так как один из углов равен $60^{\circ}$, то это острый угол при большем основании, поскольку если бы тупой угол был равен $60^{\circ}$, то острый был бы $120^{\circ}$, что невозможно. Таким образом, углы при большем основании равны $60^{\circ}$, то есть $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Фигура $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $BC = HK$. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и острому углу ($AB=CD$, $\angle A = \angle D$), поэтому их соответствующие катеты равны: $AH = KD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB=24$ см и острый угол $\angle A = 60^{\circ}$. Мы можем найти длину катета $AH$ с помощью косинуса угла $A$:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 24 \cdot \cos(60^{\circ})$.
Значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.
$AH = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.
Так как $AH=KD$, то $KD = 12$ см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD$.
Заменяя $HK$ на равное ему $BC$ и подставляя найденные значения $AH$ и $KD$, получаем:
$AD = 12 + BC + 12 = BC + 24$.
Это соотношение между основаниями.

Также, по условию задачи, сумма оснований равна 43 см:
$AD + BC = 43$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными $AD$ и $BC$:
1) $AD = BC + 24$
2) $AD + BC = 43$
Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе:
$(BC + 24) + BC = 43$
$2 \cdot BC + 24 = 43$
$2 \cdot BC = 43 - 24$
$2 \cdot BC = 19$
$BC = 9,5$ см.

Зная меньшее основание $BC$, находим большее основание $AD$ из любого уравнения, например, из второго:
$AD = 43 - BC = 43 - 9,5 = 33,5$ см.

Итак, длины оснований трапеции равны 9,5 см и 33,5 см, что соответствует варианту A.

Ответ: 9,5 см; 33,5 см.

16. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 132 см. Основания относятся как 2 : 5. Найдите среднюю линию трапеции:

А. 66 см.

В. 41 см.

С. 42 см.

D. 43 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По свойству равнобедренной трапеции, $AB = CD$.

По условию, диагональ (например, $AC$) делит острый угол ($\angle DAB$) пополам. Это значит, что $\angle DAC = \angle CAB$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, они равны: $\angle DAC = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), то мы получаем, что боковые стороны равны меньшему основанию: $AB = CD = BC$.

Основания трапеции относятся как $2:5$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда длина меньшего основания $BC$ равна $2x$, а большего основания $AD$ — $5x$.

Таким образом, длины сторон трапеции равны: $BC = 2x$, $AD = 5x$, $AB = 2x$, $CD = 2x$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех её сторон:$P = AD + BC + AB + CD = 5x + 2x + 2x + 2x = 11x$.

По условию, периметр равен 132 см. Составим уравнение:$11x = 132$$x = \frac{132}{11}$$x = 12$ см.

Теперь найдем длины оснований:
Меньшее основание $BC = 2x = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Большее основание $AD = 5x = 5 \cdot 12 = 60$ см.

Средняя линия трапеции ($m$) находится по формуле как полусумма оснований:$m = \frac{AD + BC}{2}$.

Подставим найденные значения:$m = \frac{60 + 24}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Ответ: C. 42 см.

17. Какой четырехугольник получится, если последовательно соединить середины сторон равнобедренной трапеции:

А. Параллелограмм.

В. Прямоугольник.

С. Ромб.

D. Квадрат?

Для решения этой задачи рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению равнобедренной трапеции, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а также углы при каждом основании равны. Одно из важных свойств равнобедренной трапеции — равенство ее диагоналей ($AC = BD$).

Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединим эти точки последовательно, чтобы получить четырехугольник $KLMN$.

1. Определение типа четырехугольника $KLMN$

Воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

• В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является средней линией. Следовательно, $KL$ параллельна диагонали $AC$ и равна ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией. Следовательно, $MN$ параллельна диагонали $AC$ и равна ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из этих двух утверждений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $KLMN$ — это параллелограмм (согласно теореме Вариньона, это верно для любого выпуклого четырехугольника).

2. Уточнение вида параллелограмма

Теперь рассмотрим две другие стороны параллелограмма $KLMN$.

• В треугольнике $BCD$ отрезок $LM$ является средней линией. Следовательно, $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.
• В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией. Следовательно, $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Мы выяснили, что длины сторон параллелограмма $KLMN$ равны половинам длин диагоналей исходной трапеции: $KL = MN = \frac{1}{2}AC$ и $LM = KN = \frac{1}{2}BD$.

Как было упомянуто ранее, в равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$.

Следовательно, все стороны четырехугольника $KLMN$ равны между собой:

$KL = LM = MN = NK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Таким образом, четырехугольник $KLMN$ является ромбом.

3. Почему не прямоугольник или квадрат?

Чтобы ромб $KLMN$ был прямоугольником (а следовательно, и квадратом), его углы должны быть прямыми. Это произойдет, если его смежные стороны будут перпендикулярны, например, $KL \perp LM$. Поскольку $KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$, это условие эквивалентно перпендикулярности диагоналей трапеции $AC \perp BD$. В общем случае диагонали равнобедренной трапеции не перпендикулярны. Это свойственно только отдельным видам равнобедренных трапеций, но не всем. Поэтому в общем случае полученная фигура — это ромб, но не обязательно квадрат или прямоугольник.

Ответ: С. Ромб.

18. Из двух противолежащих вершин параллелограмма проведены биссектрисы его углов до пересечения с противоположными сторонами. Определите вид получившегося четырехугольника:
А. Параллелограмм. В. Прямоугольник.
С. Ромб. D. Квадрат.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем биссектрису угла $A$, которая пересекает сторону $CD$ в точке $E$. Также проведем биссектрису угла $C$, которая пересекает сторону $AB$ в точке $F$. В результате образуется четырехугольник $AFCE$. Определим его вид.

1. Рассмотрим треугольник $ADE$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AE$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Следовательно, $\angle BAE = \angle AED$. По условию, $AE$ является биссектрисой угла $A$, поэтому $\angle DAE = \angle BAE$. Из двух равенств следует, что $\angle DAE = \angle AED$. Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ADE$ — равнобедренный, и его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $DE = AD$.

2. Рассмотрим треугольник $BCF$.

Аналогично, $AB \parallel CD$, а прямая $CF$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle BFC = \angle FCD$. По условию, $CF$ является биссектрисой угла $C$, поэтому $\angle BCF = \angle FCD$. Из двух равенств следует, что $\angle BFC = \angle BCF$. Следовательно, треугольник $BCF$ также является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $BF = BC$.

3. Определим вид четырехугольника $AFCE$.

Стороны $AF$ и $EC$ четырехугольника $AFCE$ лежат на противоположных сторонах параллелограмма $ABCD$, то есть на прямых $AB$ и $CD$. Так как $AB \parallel CD$, то и отрезки $AF$ и $EC$ параллельны ($AF \parallel EC$).

Теперь найдем длины этих сторон. Длина отрезка $AF$ равна разности длин $AB$ и $BF$: $AF = AB - BF$. Из пункта 2 мы знаем, что $BF = BC$, поэтому $AF = AB - BC$.

Длина отрезка $EC$ равна разности длин $DC$ и $DE$: $EC = DC - DE$. Из пункта 1 мы знаем, что $DE = AD$, поэтому $EC = DC - AD$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны: $AB = DC$ и $BC = AD$. Сравнивая выражения для $AF$ и $EC$, получаем: $AF = AB - BC$ $EC = DC - AD = AB - BC$ Следовательно, $AF = EC$.

Мы установили, что в четырехугольнике $AFCE$ противоположные стороны $AF$ и $EC$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $AFCE$ является параллелограммом.

В общем случае этот параллелограмм не является прямоугольником или ромбом, так как для этого требуются дополнительные условия на углы или стороны исходного параллелограмма.

Ответ: А. Параллелограмм.

19. Сколько можно построить квадратов с вершинами в двух данных точках:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4?

Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения двух заданных точек (назовем их A и B) в качестве вершин квадрата. Существует два таких варианта.

Случай 1: Точки A и B являются смежными вершинами квадрата.

В этом случае отрезок, соединяющий точки A и B, является стороной квадрата. На этой стороне можно построить ровно два квадрата. Один квадрат будет располагаться по одну сторону от прямой, проходящей через точки A и B, а второй — по другую. Таким образом, в этом случае мы можем построить 2 квадрата.

Случай 2: Точки A и B являются противоположными вершинами квадрата.

В этом случае отрезок AB является диагональю квадрата. Из свойств квадрата мы знаем, что его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Вторая диагональ, CD, должна проходить через середину отрезка AB и быть ему перпендикулярной. Положение двух других вершин, C и D, определяется однозначно, так как они должны лежать на серединном перпендикуляре к AB на расстоянии, равном половине длины AB. Следовательно, в этом случае можно построить только 1 квадрат.

Суммируя количество возможных квадратов из обоих случаев, получаем общее число:

$2$ (из случая 1) $+ 1$ (из случая 2) $= 3$

Таким образом, всего можно построить 3 различных квадрата с вершинами в двух данных точках.

Ответ: 3

20. У прямоугольника срезаны углы таким образом, что образовался правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон данного прямоугольника:

A. 1 : 2.

B. 2 : $\sqrt{3}$.

C. 1 : $\sqrt{2}$.

D. 2 : 3.

Пусть стороны исходного прямоугольника равны 𝐿 и 𝑊, а сторона образовавшегося правильного шестиугольника равна 𝑎.

Чтобы из прямоугольника путем срезания углов получился правильный шестиугольник, срезы должны быть выполнены симметрично. В результате у шестиугольника две стороны будут параллельны одной паре сторон прямоугольника, а четыре другие стороны будут образованы срезами. Части, срезанные по углам, представляют собой четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим ориентацию, когда две стороны шестиугольника параллельны стороне прямоугольника 𝐿. Длина этих сторон шестиугольника равна 𝑎. Четыре другие стороны, являющиеся гипотенузами срезанных треугольников, также имеют длину 𝑎. Пусть катеты этих треугольников равны 𝑥 и 𝑦. Тогда по теореме Пифагора: $x^2 + y^2 = a^2$.

Стороны прямоугольника можно выразить через 𝑎, 𝑥 и 𝑦. Длина 𝐿 будет равна сумме центральной стороны шестиугольника и двух катетов 𝑥: $L = x + a + x = 2x + a$. Ширина 𝑊 будет равна сумме двух катетов 𝑦: $W = y + y = 2y$.

Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$. Угол шестиугольника в вершине, где его сторона, лежащая на стороне прямоугольника, соединяется со стороной-срезом, равен $120^\circ$. Так как сторона прямоугольника — это прямая, то угол между срезом и стороной прямоугольника составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, срезанные прямоугольные треугольники имеют острые углы $60^\circ$ и $30^\circ$. В нашем случае катет 𝑥 прилежит к углу $60^\circ$, а катет 𝑦 противолежит ему. Найдем длины катетов через 𝑎, используя тригонометрические соотношения:

$x = a \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$

$y = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим найденные значения 𝑥 и 𝑦 в выражения для 𝐿 и 𝑊:

$L = 2x + a = 2 \cdot (\frac{a}{2}) + a = a + a = 2a$

$W = 2y = 2 \cdot (a \frac{\sqrt{3}}{2}) = a\sqrt{3}$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $2a$ и $a\sqrt{3}$. Их отношение составляет $L:W = 2a : a\sqrt{3} = 2 : \sqrt{3}$.

Ответ: B. $2:\sqrt{3}$.